Observer des fréquences sur des séries de même taille

Quand on répète une expérience aléatoire, un même évènement ne se produit pas toujours aussi souvent d’une série à l’autre. Comparer des séries de même taille permet d’observer ces variations, par exemple lors de lancers de pièce ou de simulations sur ordinateur.

Le cours

1. Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir avec certitude le résultat. Pour étudier un évènement, on réalise plusieurs séries dans les mêmes conditions, en gardant le même nombre de répétitions dans chaque série. Par exemple, on peut lancer une pièce plusieurs fois par série et compter les apparitions de pile.

2. Dans chaque série, la fréquence d’un évènement est le quotient du nombre de fois où cet évènement s’est produit par le nombre total de répétitions : fréquence = nombre de réalisations de l’évènement ÷ nombre total de répétitions. Elle est comprise entre zéro et un et peut s’écrire sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage.

3. Pour organiser l’observation, on peut construire un tableau avec une ligne par série. On y indique le nombre de répétitions, le nombre de réalisations de l’évènement et sa fréquence. On peut aussi utiliser un tableur ou un programme pour simuler les répétitions et obtenir ces données.

4. On compare ensuite les fréquences obtenues. Comme les séries ont la même taille, les fractions ont le même dénominateur : la plus grande fréquence correspond au plus grand nombre de réalisations de l’évènement. Pour mesurer l’écart entre les fréquences extrêmes, on soustrait la plus petite fréquence à la plus grande.

5. Les variations des fréquences d’une série à l’autre s’appellent des fluctuations. À nombre de répétitions fixé, les fréquences peuvent être différentes ou parfois égales : le hasard n’impose pas le même résultat à chaque série. Pour décrire les observations, on précise si les fréquences sont proches ou dispersées et on peut donner leur minimum, leur maximum et leur écart. Une fréquence observée n’est pas nécessairement égale à la probabilité de l’évènement.

Des exemples

• On lance une pièce dans les mêmes conditions. La série A comporte 70 lancers et donne 31 fois pile. La série B comporte 70 lancers et donne 38 fois pile. Compare les fréquences de pile.

  La fréquence de pile est 31/70 dans la série A et 38/70 dans la série B. Les dénominateurs sont égaux : on compare donc les numérateurs. La comparaison donne : <. La fréquence est plus grande dans la série B. Ces séries de même taille montrent une fluctuation de la fréquence de pile.

• Un programme simule des tirages d’une boule dans un sac, avec remise après chaque tirage. La composition du sac reste inchangée. La série A comporte 120 tirages et donne 47 boules rouges. La série B comporte 120 tirages et donne 47 boules rouges. Compare les fréquences de l’évènement « obtenir une boule rouge ».

  Les fréquences observées sont 47/120 et 47/120. La comparaison donne : =. Les fréquences sont égales dans ces séries. Cela peut arriver, mais cela ne garantit pas qu’une nouvelle série donnera la même fréquence.

• On réalise plusieurs séries de lancers avec la même pièce. Chaque série comporte 90 lancers. Le plus grand nombre de piles observé est 53, et le plus petit est 41. Pour calculer l’écart entre les fréquences extrêmes, on soustrait 41/90 à 53/90. Quel est cet écart ?

  La fréquence maximale est 53/90 et la fréquence minimale est 41/90. Les séries ont la même taille. On soustrait les numérateurs et on conserve le dénominateur commun : 53/90 − 41/90 = 2/15. Cet écart mesure la différence entre les fréquences extrêmes observées, sans prévoir le résultat d’une prochaine série.