Examiner si un modèle représente une situation

Un modèle aléatoire sert à représenter une situation où le hasard intervient et à prévoir les chances des différents résultats. Pour savoir si ce modèle convient, on compare ses hypothèses à la situation réelle, puis ses prévisions aux observations.

Le cours

1. Un modèle aléatoire décrit les résultats possibles et leur attribue des probabilités. Il repose sur des hypothèses : par exemple, un dé est équilibré, des boules sont indiscernables au toucher ou une boule tirée est remise dans le sac avant le tirage suivant. Ces hypothèses doivent correspondre aux conditions réelles de l’expérience.

2. Pour examiner un modèle, on commence par vérifier les résultats qu’il autorise et les probabilités qu’il leur attribue. Attention : des résultats ne sont pas forcément équiprobables, c’est-à-dire aussi probables les uns que les autres. Par exemple, des couleurs présentes dans un sac n’ont les mêmes chances d’être tirées que si les conditions du tirage et les quantités de boules le permettent.

3. On compare ensuite les probabilités du modèle aux fréquences observées. La fréquence d’un résultat est le quotient du nombre de fois où il apparaît par le nombre total d’essais. Le hasard produit des fluctuations : une fréquence peut donc différer de la probabilité prévue sans que le modèle soit faux. Quand le nombre d’essais augmente, les fréquences tendent généralement à se rapprocher des probabilités, mais ce rapprochement n’est ni exact ni régulier.

4. La conclusion doit être argumentée. Des hypothèses adaptées et des fréquences proches des probabilités rendent le modèle compatible avec les observations, sans prouver qu’il est le seul possible. Des écarts importants qui persistent sur de nombreuses répétitions conduisent à le remettre en cause. Si un résultat déclaré impossible par le modèle est observé et que l’observation est fiable, le modèle doit être rejeté ou modifié.

Des exemples

• Un sac contient 1 boule rouge parmi 3 boules indiscernables au toucher. On tire au hasard, on remet la boule et on mélange après chaque tirage. Le modèle attribue à la couleur rouge une probabilité de 1/3. Sur 180 tirages, on obtient 61 fois la couleur rouge. Faut-il rejeter le modèle parce que la fréquence observée diffère de la probabilité prévue ?

  La fréquence observée est 61/180, à comparer à la probabilité 1/3. La comparaison donne : >. Ces valeurs sont proches, même si elles ne sont pas égales. Cet écart est compatible avec les fluctuations du hasard : il ne suffit pas à rejeter le modèle. De plus, les conditions annoncées du tirage correspondent à ses hypothèses.

• Un sac contient 4 boules rouges parmi 11 boules, les autres étant bleues. Toutes sont indiscernables au toucher et le tirage se fait au hasard. Un modèle attribue à la couleur rouge une probabilité de 1/2, sous prétexte que les couleurs auraient les mêmes chances. Ce modèle représente-t-il la situation ?

  Chaque boule a la même chance d’être tirée, mais cela ne donne pas la même chance à chaque couleur. La probabilité d’obtenir une boule rouge est 4/11, alors que le modèle propose 1/2. La comparaison donne : <. Le modèle ne respecte donc pas la composition du sac : il faut le modifier, même sans effectuer de tirages.

• Une roue ne comporte que des secteurs bleus et jaunes. Le modèle prévoit donc une probabilité de 0/1 d’obtenir du vert. Sur 75 essais, on relève pourtant 1 résultat vert. L’observation a été vérifiée. Le modèle peut-il être conservé tel quel ?

  La fréquence relevée pour le vert est 1/75, alors que sa probabilité dans le modèle est 0/1. La comparaison donne : >. Le modèle déclare le vert impossible : l’écart observé ne peut donc pas s’expliquer par une simple variation de fréquence due au hasard. Puisque l’observation est fiable, il faut rejeter ou modifier le modèle et rechercher ce qu’il ne prend pas en compte.