Mathématiques · 4e · environ 20 min

Étudier l’effet d’une valeur extrême

Je m'entraîne

S'entraîner : une série dédiée, en paliers Rituel : Calcul mental

Explique-moi autrement

Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.

Écris la série dans l’ordre croissant. Barre une valeur à gauche et une valeur à droite, puis recommence jusqu’à garder une valeur centrale ou deux valeurs centrales. Recommence après l’ajout de la valeur extrême : ne conserve pas automatiquement l’ancienne médiane.

Cette méthode sert à trouver la médiane, pas la moyenne. S’il reste deux valeurs centrales, il faut calculer leur moyenne.

Les pièges

Ajouter la valeur extrême à la somme, mais garder l’ancien effectif pour calculer la moyenne.
Ta nouvelle somme prend bien en compte la valeur ajoutée. Recompte maintenant les valeurs avant de diviser.
Garder automatiquement l’ancienne médiane.
Range la nouvelle série et repère son centre. La médiane peut rester identique, mais il faut le vérifier.
Prendre la valeur extrême comme nouvelle médiane.
Pour la médiane, cherche une place centrale plutôt qu’une valeur impressionnante.

Je me teste

2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.

La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer

La leçon

Ce qu'il faut savoir

Une valeur très éloignée des autres peut modifier la moyenne et la médiane d’une série. Étudier cet effet permet de mieux comprendre un résumé statistique, par exemple lorsqu’une durée exceptionnellement longue s’ajoute à des durées habituelles.

Le cours

Une valeur extrême est une valeur très petite ou très grande par rapport aux autres valeurs de la série. Pour étudier son effet, on calcule la moyenne et la médiane avant l’ajout, puis on les recalcule après l’ajout.
La moyenne est égale à la somme des valeurs divisée par l’effectif total. Après l’ajout, la nouvelle somme est l’ancienne somme augmentée de la valeur ajoutée, et l’effectif augmente de 1. Il faut donc modifier à la fois la somme et l’effectif. Une valeur ajoutée supérieure à l’ancienne moyenne fait augmenter la moyenne ; une valeur inférieure la fait diminuer.
Pour déterminer la médiane, on range les valeurs dans l’ordre croissant. Si l’effectif est impair, on prend la valeur centrale. Si l’effectif est pair, on calcule la moyenne des deux valeurs centrales. Après un ajout, il faut examiner à nouveau les positions centrales : la médiane peut rester identique ou changer. Elle dépend des positions dans la série ordonnée, et non de la somme de toutes les valeurs.
Par exemple, la série 8 ; 10 ; 12 a pour moyenne (8 + 10 + 12) ÷ 3 = 10 et pour médiane 10. Après l’ajout de 50, la moyenne devient (8 + 10 + 12 + 50) ÷ 4 = 20. Les deux valeurs centrales sont 10 et 12 : la médiane devient (10 + 12) ÷ 2 = 11. La moyenne augmente de 10, tandis que la médiane augmente de 1 : elle n’est donc pas restée inchangée.
Dans la série 6 ; 9 ; 9 ; 12, la moyenne vaut 36 ÷ 4 = 9 et la médiane vaut (9 + 9) ÷ 2 = 9. Après l’ajout de 64, la moyenne devient 100 ÷ 5 = 20, tandis que la médiane reste 9, la valeur centrale. Ces exemples montrent que la moyenne est sensible à l’importance de la valeur extrême. La médiane est généralement moins sensible, mais son maintien n’est jamais à supposer sans vérifier les valeurs centrales.

Des exemples

La somme des valeurs d’une série est 124. On ajoute la valeur extrême 196. Calcule la nouvelle somme qui servira à déterminer la nouvelle moyenne.
La nouvelle somme est 124 + 196 = 320. Pour obtenir la nouvelle moyenne, il faut diviser 320 par le nouvel effectif, et non par l’ancien.
Une série de mesures a pour somme 93. On ajoute une mesure exceptionnellement petite, égale à 3. Calcule la nouvelle somme.
La nouvelle somme est 93 + 3 = 96. Même si la somme augmente, la moyenne peut diminuer : le nombre de mesures augmente aussi. Pour conclure, il faut recalculer la moyenne avec le nouvel effectif.
Après l’ajout d’une valeur extrême, la médiane d’une série passe de 15 à 17. Calcule son augmentation.
L’augmentation est 17 − 15 = 2. La médiane a donc changé. L’ajout a modifié les positions centrales de la série ordonnée : une valeur extrême ne laisse pas toujours la médiane inchangée.

À retenir

Moyenne = somme des valeurs ÷ effectif total.
Après un ajout, la somme et l’effectif changent.
Pour la médiane, ranger la série et vérifier les nouvelles positions centrales.
Une valeur extrême peut fortement modifier la moyenne.
La médiane peut rester identique ou changer : il faut la recalculer.
Comparer les résultats avant et après, puis expliquer les variations.

Les mots de la leçon

Valeur extrême: Valeur très petite ou très grande par rapport aux autres valeurs d’une série.
Effectif total: Nombre total de valeurs de la série, en comptant chaque répétition.
Moyenne: Nombre obtenu en divisant la somme des valeurs par l’effectif total.
Médiane: Nombre qui partage une série ordonnée en deux groupes de même effectif : pour un effectif impair, on retient la valeur centrale ; pour un effectif pair, on prend la moyenne des deux valeurs centrales.

Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape

RegardeAjouter une valeur très éloignée des autres peut déplacer fortement la moyenne, car cette valeur entre dans la somme. La médiane dépend surtout des places dans la série rangée : elle peut changer, notamment parce que l’effectif passe de pair à impair ou inversement.

On considère la série 4 ; 6 ; 8. On ajoute la valeur extrême 50. Compare la moyenne et la médiane avant et après cet ajout.

Avant l’ajout, la moyenne se calcule par (4 + 6 + 8) ÷ 3.On additionne toutes les valeurs, puis on divise par leur nombre.
Avant l’ajout, la médiane est la valeur placée au milieu de la série rangée.Avec un effectif impair, une seule valeur occupe la place centrale.
Après l’ajout, la série rangée est 4 ; 6 ; 8 ; 50. La nouvelle moyenne se calcule par (4 + 6 + 8 + 50) ÷ 4.La somme augmente, mais l’effectif augmente aussi : il faut modifier les deux dans le calcul.
La nouvelle médiane se calcule par (6 + 8) ÷ 2.L’effectif est maintenant pair : on prend la moyenne des deux valeurs centrales.
La moyenne augmente fortement. La médiane augmente aussi, mais moins.La valeur ajoutée est très supérieure à la moyenne initiale. Pour la médiane, ce sont les nouvelles places centrales qui comptent : elle ne reste donc pas forcément inchangée.

Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider

Ce que votre enfant apprend: Calculer la moyenne et la médiane d’une série avant et après l’ajout d’une valeur extrême, puis expliquer les variations observées sans conclure que la médiane reste toujours inchangée.
Au programme: 4e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
Combien de temps: Environ 20 minutes, en une fois ou en plusieurs.

Comment l'accompagner

Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.

Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers