Mathématiques · 4e · environ 20 min

Décrire les issues de deux épreuves successives

Je m'entraîne

S'entraîner : une série dédiée, en paliers Rituel : Calcul mental

Explique-moi autrement

Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.

Écris les résultats possibles de la première épreuve en début de ligne, puis ceux de la seconde en haut des colonnes. Dans chaque case autorisée, écris (résultat de la ligne, résultat de la colonne). Parcours les cases ligne après ligne pour vérifier que tu n'as rien oublié.

Si le protocole interdit certaines associations, barre les cases correspondantes. Toutes les cases du tableau ne sont alors pas des issues possibles.

Les pièges

Regrouper (A, B) et (B, A) comme s'il s'agissait de la même issue.
Lis chaque couple à voix haute : « d'abord A, puis B » ou « d'abord B, puis A ». Ces phrases décrivent des successions différentes.
Garder les mêmes branches au second tirage alors que le tirage se fait sans remise.
Repars du contenu réel du sac après le premier tirage et corrige seulement les branches qui ne sont plus possibles.
Additionner les nombres de résultats des épreuves au lieu de former les couples.
Choisis un résultat de la première épreuve et cherche toutes ses suites possibles. Fais ensuite la même chose pour chaque autre départ.

Je me teste

2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.

La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer

La leçon

Ce qu'il faut savoir

Lorsqu’une expérience aléatoire comporte deux épreuves successives, on cherche à décrire tous les résultats possibles en tenant compte de leur ordre. Un arbre ou un tableau permet de les organiser sans en oublier.

Le cours

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne connaît pas à l’avance le résultat. Lorsqu’elle comporte deux épreuves successives, une issue s’écrit sous la forme d’un couple ordonné : (résultat de la première épreuve ; résultat de la seconde épreuve). Par exemple, (rouge ; bleu) signifie que l’on obtient rouge, puis bleu. Ce couple est différent de (bleu ; rouge).
Avant de chercher les issues, il faut lire le protocole : quels résultats peut-on obtenir à chaque épreuve ? Lors de tirages, remet-on l’objet tiré avant de recommencer ? Avec remise, l’objet peut être tiré à nouveau. Sans remise, il n’est plus disponible : les résultats possibles au second tirage dépendent alors du premier.
Pour construire un arbre, on trace une branche pour chaque résultat possible de la première épreuve. À partir de chacune de ces branches, on trace les branches correspondant aux résultats possibles de la seconde épreuve. Chaque chemin complet décrit une issue. On écrit son couple en suivant le chemin depuis le départ.
Pour construire un tableau, on place les résultats de la première épreuve en début de ligne et ceux de la seconde en haut des colonnes. Dans chaque case, on écrit le couple correspondant, toujours dans l’ordre des épreuves. Si une combinaison est impossible selon le protocole, on marque la case « impossible » : elle ne représente pas une issue.
Pour vérifier la liste obtenue, on contrôle que chaque couple respecte le protocole, qu’aucun n’est oublié et qu’aucun n’est répété. Si chaque résultat de la première épreuve est suivi du même nombre de possibilités, le nombre total d’issues est le produit du nombre de possibilités à chaque épreuve. Sinon, on compte les chemins de l’arbre ou les cases possibles du tableau.

Des exemples

Une roue porte 4 secteurs : rouge, bleu, vert et jaune. On la fait tourner, puis on lance une pièce dont les 2 résultats possibles sont pile et face. Représente les issues dans un tableau et indique leur nombre.
On prépare une ligne par couleur et une colonne par résultat de la pièce. Dans la ligne rouge, on écrit (rouge ; pile) et (rouge ; face). La ligne bleue contient (bleu ; pile) et (bleu ; face). On place (vert ; pile) et (vert ; face) dans la ligne verte, puis (jaune ; pile) et (jaune ; face) dans la ligne jaune. Chaque couleur peut être suivie de pile ou de face : les 4 lignes comportent chacune 2 cases, soit 4 × 2 = 8 issues. La couleur est toujours écrite avant le résultat de la pièce.
Un sac contient 5 jetons marqués A, B, C, D et E. On tire un jeton, on le garde hors du sac, puis on tire à nouveau parmi les 4 jetons restants. Construis l’arbre des issues et indique leur nombre.
Au départ, l’arbre comporte 5 branches, marquées A, B, C, D et E. Après A, les branches possibles sont B, C, D et E ; après B, ce sont A, C, D et E ; après C, ce sont A, B, D et E ; après D, ce sont A, B, C et E ; après E, ce sont A, B, C et D. Chaque chemin donne un couple : le chemin passant par A puis C donne (A ; C). Le couple (A ; A) est impossible, car le jeton A n’est pas remis. Chaque branche de départ est suivie de 4 branches : il y a donc 5 × 4 = 20 issues.

À retenir

Une issue s’écrit (résultat de la première épreuve ; résultat de la seconde épreuve).
L’ordre compte : (A ; B) et (B ; A) sont des issues différentes.
Le protocole détermine les couples possibles, notamment avec ou sans remise.
Dans un arbre, chaque chemin complet représente une issue.
Dans un tableau, chaque case autorisée représente une issue.
On multiplie les nombres de possibilités seulement si chaque résultat de la première épreuve est suivi du même nombre de possibilités.

Les mots de la leçon

Épreuve: Étape d’une expérience aléatoire, par exemple un lancer ou un tirage.
Issue: Résultat possible de l’expérience complète.
Couple ordonné: Écriture de deux éléments dans un ordre précis. Ici, le premier correspond à la première épreuve et le second à la seconde.
Protocole: Description des règles et du déroulement de l’expérience.
Tirage avec remise: Tirage après lequel l’objet est replacé avant le tirage suivant.
Tirage sans remise: Tirage après lequel l’objet est gardé à l’écart et ne peut pas être tiré à nouveau.

Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape

RegardeTu lances une pièce, puis tu tires un jeton parmi les jetons rouge et bleu. Les issues sont les couples (pile, rouge), (pile, bleu), (face, rouge) et (face, bleu) : la première place décrit le lancer, la seconde décrit le tirage. Dans un arbre, chaque chemin complet correspond à un couple.

Une roue indique soleil ou lune. Après l'avoir fait tourner, tu tires un jeton marqué A ou B dans un sac. Représente toutes les issues par des couples ordonnés.

Commence l'arbre avec les branches soleil et lune.Le premier niveau de l'arbre représente le résultat de la roue.
Depuis chacune de ces branches, ajoute les branches A et B.Le même sac est utilisé quel que soit le résultat de la roue.
Lis chaque chemin depuis le départ : (soleil, A), (soleil, B), (lune, A), (lune, B).Un chemin complet donne le résultat de la première épreuve, puis celui de la seconde, dans cet ordre.
Tu peux aussi construire un tableau : les lignes portent soleil et lune, les colonnes portent A et B. Dans chaque case, écris le couple correspondant.Chaque case associe un résultat de la roue à un résultat du tirage, sans oubli ni doublon.

Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider

Ce que votre enfant apprend: Pour deux lancers ou deux tirages selon un protocole précisé, représenter les issues par des couples ordonnés dans un arbre ou un tableau.
Au programme: 4e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
Combien de temps: Environ 20 minutes, en une fois ou en plusieurs.

Comment l'accompagner

Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.

Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers