Comparer les distributions observée et théorique

Quand on répète une expérience aléatoire, les résultats obtenus ne correspondent pas exactement aux probabilités prévues. Comparer leurs graphiques permet de voir ce qui se ressemble, de repérer les écarts et d’observer l’effet du nombre de répétitions.

Le cours

1. Une expérience aléatoire a plusieurs résultats possibles, appelés issues. On peut la répéter matériellement, par exemple en lançant une pièce, ou la simuler avec un ordinateur. Pour comparer les résultats à des probabilités théoriques, on conserve les mêmes conditions à chaque répétition et on précise le modèle choisi : par exemple, une pièce supposée équilibrée.

2. La distribution observée décrit la répartition des résultats réellement obtenus. Pour chaque issue, on relève son effectif, puis on calcule sa fréquence : fréquence = effectif de l’issue ÷ nombre total de répétitions. Pour exprimer cette fréquence en pourcentage, on la multiplie par 100. La somme des fréquences vaut 1, soit 100 %, à d’éventuels arrondis près.

3. La distribution théorique donne la probabilité de chaque issue selon le modèle choisi. Si toutes les issues ont la même chance de se produire, la probabilité de chacune vaut 1 ÷ nombre d’issues possibles. La somme des probabilités vaut 1. Une probabilité décrit ce que prévoit le modèle ; elle ne garantit pas la fréquence qui sera obtenue pendant une série d’essais.

4. Pour construire les graphiques, on prépare un tableau avec les issues, leurs fréquences observées et leurs probabilités théoriques. Les axes horizontaux reprennent les mêmes issues dans le même ordre, et l’échelle verticale doit être la même, en fréquences décimales ou en pourcentages. On peut tracer deux diagrammes en bâtons ou placer, pour chaque issue, deux barres côte à côte avec une légende.

5. Pour comparer, on repère les barres de hauteurs proches, puis les issues plus ou moins fréquentes que prévu. L’écart se mesure par la différence entre la fréquence observée et la probabilité théorique ; entre deux pourcentages, il s’exprime en points de pourcentage. Lorsque le nombre de répétitions augmente, les fréquences tendent à se rapprocher des probabilités, sans devenir nécessairement égales : les écarts dus au hasard restent possibles et ne diminuent pas forcément à chaque nouvel essai.

Des exemples

• On lance plusieurs fois une pièce supposée équilibrée. La fréquence observée de « pile » est 137/250. Multiplie cette fréquence par 100 pour l’exprimer en pourcentage, puis indique comment tracer la barre correspondante.

  Le calcul est 137/250 × 100 = 274/5. La fréquence observée de « pile » est donc 274/5 %. Sur le graphique des fréquences observées, on place « pile » sur l’axe horizontal et on trace une barre qui atteint 274/5 % sur l’axe vertical.

• Pour une pièce équilibrée, la probabilité théorique de « pile » est 1/2. Multiplie-la par 100 pour l’exprimer en pourcentage, puis indique comment tracer la barre théorique.

  Le calcul est 1/2 × 100 = 50. La probabilité théorique de « pile » est donc 50 %. On trace sa barre à cette hauteur, avec la même échelle verticale que pour les fréquences observées. Cette hauteur est fixée par le modèle de la pièce équilibrée, et non par les résultats des lancers.

• Pour « pile », la barre observée atteint 54,8 % et la barre théorique atteint 50 %. Calcule l’écart entre leurs hauteurs et décris ce qu’il signifie.

  On calcule 54,8 − 50 = 24/5. La fréquence observée dépasse donc la probabilité théorique de 24/5 points de pourcentage : la barre observée est légèrement plus haute. Cet écart peut être dû au hasard des lancers ; à lui seul, il ne suffit pas à conclure que la pièce est déséquilibrée.