Comparer deux séries avec leurs indicateurs

Comparer deux séries statistiques permet de savoir laquelle présente les valeurs les plus élevées en général et laquelle présente les valeurs les plus dispersées. On utilise pour cela plusieurs indicateurs : la moyenne, la médiane et l’étendue.

Le cours

1. Avant de comparer deux séries, vérifie qu’elles décrivent la même grandeur et que leurs valeurs sont exprimées dans la même unité. Repère l’effectif total de chaque série, c’est-à-dire le nombre de valeurs, en comptant les répétitions. Les effectifs des deux séries peuvent être différents.

2. La moyenne indique le niveau que l’on obtiendrait si le total était réparti également entre toutes les valeurs. Elle se calcule ainsi : moyenne = somme des valeurs ÷ effectif total. Si les données sont présentées dans un tableau d’effectifs, multiplie chaque valeur par son effectif, additionne les produits, puis divise par l’effectif total. Une valeur particulièrement grande ou petite peut modifier fortement la moyenne.

3. Pour déterminer la médiane, range les valeurs dans l’ordre croissant, sans supprimer les répétitions. Si l’effectif est impair, prends la valeur située au milieu. S’il est pair, prends la moyenne des deux valeurs centrales. La médiane partage ainsi la série ordonnée en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales et au moins la moitié lui sont supérieures ou égales.

4. L’étendue mesure la dispersion entre les deux valeurs extrêmes : étendue = valeur maximale − valeur minimale. Plus elle est grande, plus les valeurs extrêmes sont éloignées. Une petite étendue indique des valeurs regroupées dans un intervalle plus court. Attention : l’étendue ne décrit pas la répartition des valeurs à l’intérieur de cet intervalle.

5. Distingue le niveau central, décrit par la moyenne et la médiane, de la dispersion, décrite ici par l’étendue. Par exemple, les séries A : 8 ; 10 ; 12 et B : 4 ; 10 ; 16 ont chacune une moyenne de 10, car leurs sommes valent 30 et leurs effectifs valent 3. Leurs médianes valent aussi 10. En revanche, leurs étendues sont respectivement 12 − 8 = 4 et 16 − 4 = 12. Ces séries ont donc le même niveau central selon les deux indicateurs, mais la série B a une étendue plus grande. Une moyenne identique ne signifie pas que les séries sont identiques.

Des exemples

• Lors de relevés de température, toutes les valeurs de la série A valent 27 °C et toutes celles de la série B valent 22 °C. Compare leurs moyennes, leurs médianes et leurs étendues.

  Dans une série constante, la somme des valeurs est égale à la valeur répétée multipliée par l’effectif. En divisant par cet effectif, on retrouve cette valeur : la moyenne de A est donc 27 °C et celle de B est 22 °C. Les médianes valent également 27 °C et 22 °C. L’écart entre les moyennes est 27 − 22 = 5 °C. Les étendues sont toutes deux nulles, puisque chaque série ne contient qu’une valeur répétée. La série A a donc un niveau central plus élevé, mais aucune des séries ne présente de dispersion.

• On considère les séries ordonnées A : 13 ; 21 et B : 13 ; 13 ; 21 ; 21. Explique comment calculer leurs médianes et compare leurs niveaux centraux.

  Les effectifs sont pairs. Pour chaque série, les valeurs centrales sont 13 et 21. Leur somme est 13 + 21 = 34 : la médiane commune est donc la moitié de 34. La moyenne de A est aussi la moitié de 34. Dans B, chaque valeur de A est répétée autant de fois : la somme et l’effectif sont multipliés par le même nombre, donc la moyenne ne change pas. Les séries ont ainsi les mêmes moyenne et médiane malgré leurs effectifs différents.

• Deux séries de distances, exprimées en mètres, sont données : A : 34 ; 46 et B : 46 ; 46. Calcule leurs étendues et compare leur dispersion.

  Dans A, le maximum est 46 m et le minimum est 34 m. Son étendue vaut 46 − 34 = 12 m. Dans B, le maximum et le minimum valent tous deux 46 m : son étendue est nulle. La série A présente donc une étendue plus grande. Cette conclusion concerne la dispersion ; pour comparer aussi le niveau central, il faut examiner les moyennes et les médianes.