Mathématiques · 4e · environ 15 min
Calculer une moyenne à partir de petits effectifs
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Imagine une case par observation. Pour le tableau « valeur 4, effectif 3 ; valeur 9, effectif 2 », dessine trois cases contenant 4 et deux cases contenant 9. Additionne le contenu de toutes les cases, puis divise par le nombre de cases. Les produits permettent ensuite de remplacer les additions répétées.
Cette représentation est pratique pour de petits effectifs. Si les effectifs deviennent grands, garde directement les produits.
Prépare trois petits tas de quatre jetons et deux petits tas de neuf jetons. Chaque tas représente une observation. Réunis les jetons, puis imagine leur redistribution équitable entre les tas de départ. La quantité reçue par chaque tas représente la moyenne. Si les jetons ne se partagent pas exactement, le calcul peut donner une valeur décimale.
Les jetons conviennent surtout à de petites valeurs entières positives. Une moyenne n’est pas forcément une valeur présente dans le tableau.
Pour le tableau « valeur 10, effectif 3 ; valeur 14, effectif 2 », imagine d’abord que toutes les observations valent 10. Seules les observations à 14 apportent un supplément : chacune apporte 14 − 10. La moyenne s’écrit donc 10 + ((14 − 10) × 2) ÷ (3 + 2). Tu répartis seulement le supplément entre toutes les observations.
Cette méthode est particulièrement utile quand les valeurs sont proches. Le supplément doit toujours être divisé par l’effectif total, pas seulement par l’effectif de la valeur la plus élevée.
Les pièges
Additionner les valeurs du tableau sans tenir compte des effectifs.
Pour chaque ligne, demande-toi combien de fois la valeur apparaît. Remplace cette répétition par valeur × effectif.
Diviser la somme des produits par le nombre de lignes.
Additionne les effectifs de toutes les lignes. C’est ce total qui sert à diviser.
Faire directement la moyenne des valeurs affichées, même si leurs effectifs sont différents.
Compare d’abord les effectifs. La moyenne simple des valeurs affichées convient lorsque leurs effectifs sont tous égaux.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Une moyenne permet de résumer une série de données par une seule valeur. Quand les données sont présentées dans un tableau d’effectifs, on tient compte du nombre de fois où chaque valeur apparaît.
Le cours
Dans un tableau d’effectifs, chaque valeur est associée à son effectif : c’est le nombre de fois où elle apparaît dans la série. L’effectif total est la somme de tous les effectifs.
Pour calculer la moyenne, on multiplie chaque valeur par son effectif, puis on additionne les produits obtenus. On divise ensuite cette somme par l’effectif total : moyenne = somme des produits valeur × effectif ÷ effectif total. On appelle ce calcul une moyenne pondérée.
Par exemple, un tableau donne les valeurs 11, 14 et 17, avec les effectifs respectifs 2, 3 et 1. Cela signifie que 11 apparaît deux fois, 14 trois fois et 17 une fois. L’effectif total est 2 + 3 + 1 = 6. La somme des produits est 11 × 2 + 14 × 3 + 17 × 1 = 22 + 42 + 17 = 81. La moyenne est donc 81 ÷ 6 = 13,5.
Il ne faut pas diviser par le nombre de valeurs différentes du tableau : on divise par l’effectif total. Une valeur qui apparaît souvent compte davantage dans le calcul qu’une valeur qui apparaît rarement.
La moyenne s’exprime dans la même unité que les valeurs étudiées. Elle est comprise entre la plus petite et la plus grande valeur de la série, mais elle n’est pas forcément une valeur présente dans le tableau. Si une valeur approchée est demandée, on arrondit seulement le résultat final.
Des exemples
Pour un tableau de longueurs exprimées en centimètres, la somme des produits valeur-effectif est 119. L’inverse de l’effectif total est 1/8. Calcule la moyenne en multipliant la somme obtenue par cet inverse.
La somme des produits tient déjà compte de toutes les longueurs et de leurs effectifs. Multiplier par 1/8 revient à diviser par l’effectif total : la moyenne est donc 119 × 1/8 = 119/8 cm.
Un tableau indique les durées de plusieurs trajets, en minutes, avec leurs effectifs. La somme des produits durée-effectif est 203. Pour diviser par l’effectif total, on multiplie par 1/7. Quelle est la durée moyenne d’un trajet ?
On a déjà additionné les produits de chaque durée par son effectif. Il reste à diviser cette somme par l’effectif total, ce qui revient à calculer 203 × 1/7. La durée moyenne est donc 29 minutes.
À retenir
- Multiplier chaque valeur par son effectif.
- Additionner tous les produits obtenus.
- Additionner les effectifs pour trouver l’effectif total.
- Diviser la somme des produits par l’effectif total, pas par le nombre de valeurs différentes.
- Vérifier que la moyenne est comprise entre la plus petite et la plus grande valeur.
- Conserver l’unité des valeurs et arrondir seulement à la fin si nécessaire.
Les mots de la leçon
- Effectif
- Nombre de fois où une valeur apparaît dans une série.
- Effectif total
- Nombre total de données de la série, obtenu en additionnant tous les effectifs.
- Moyenne pondérée
- Moyenne calculée en tenant compte de l’effectif associé à chaque valeur.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeDans un tableau, l’effectif indique combien de fois une valeur apparaît. Si la valeur 6 apparaît trois fois et la valeur 10 deux fois, la somme des valeurs est 6 × 3 + 10 × 2 : pour obtenir la moyenne, tu divises cette somme par 3 + 2.
Le tableau indique les durées suivantes : 8 minutes pour 2 trajets et 13 minutes pour 3 trajets. Calcule la durée moyenne d’un trajet.
- Écris la somme des durées : 8 × 2 + 13 × 3.Chaque durée doit être comptée autant de fois qu’il y a de trajets correspondants.
- Écris l’effectif total : 2 + 3.Tu cherches le nombre total de trajets, pas le nombre de durées différentes.
- Calcule (8 × 2 + 13 × 3) ÷ (2 + 3).La moyenne est la durée totale divisée par le nombre total de trajets.
- Vérifie que ta réponse est comprise entre 8 et 13 minutes.Une moyenne ne peut pas sortir de l’intervalle des valeurs observées.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- À partir d’un tableau de valeurs et de petits effectifs, calculer la somme des produits valeur-effectif et la diviser par l’effectif total.
- Au programme
- 4e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 15 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers