Mathématiques · 4e · environ 10 min
Calculer la probabilité de l’évènement contraire
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Imagine une bande qui représente tous les résultats possibles : sa valeur totale est 1. Une partie colorée représente la probabilité de l'évènement. Toute la partie restante représente la probabilité de son contraire. Pour trouver cette partie, retire la partie colorée du tout.
La bande représente des probabilités, pas forcément des nombres de résultats. Des résultats qui n'ont pas la même chance de se produire ne doivent pas recevoir automatiquement des parts identiques.
Prends des papiers identiques, marque certains d'une étoile, puis mélange-les. Sépare ensuite les papiers étoilés des papiers sans étoile. Aucun papier ne reste à part et aucun n'appartient aux deux groupes. Le nombre de papiers sans étoile est donc le nombre total moins le nombre de papiers étoilés. Pour les probabilités, on conserve le nombre total au dénominateur.
Le calcul par comptage suppose que chaque papier a la même chance d'être tiré. Il faut aussi distinguer « sans étoile » d'une catégorie particulière, comme « avec un cercle ».
Commence par écrire « ne pas » devant l'évènement. Vérifie ensuite que les situations proposées ne peuvent pas arriver ensemble et qu'elles couvrent tous les cas. Par exemple, le contraire de « gagner » est « ne pas gagner » : selon le jeu, cela peut réunir une défaite et un match nul. Une fois le contraire bien identifié, utilise la probabilité totale pour trouver ce qui manque.
Un évènement simplement différent n'est pas forcément le contraire. « Perdre » n'est le contraire de « gagner » que si aucun match nul ni aucune autre issue n'est possible.
Les pièges
Choisir un évènement différent sans vérifier qu'il est vraiment le contraire.
Repars de « ne pas… », puis rassemble tous les cas qui correspondent à cette phrase.
Soustraire les dénominateurs pour calculer le contraire d'une probabilité donnée en fraction.
Écris le total sous la forme d'une fraction de même dénominateur, puis soustrais seulement les numérateurs.
Ajouter la probabilité donnée au total.
Vérifie que ta probabilité reste entre zéro et un, puis utilise P(non A) = 1 − P(A).
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Quand on connaît la probabilité qu’un évènement se réalise, on peut calculer celle qu’il ne se réalise pas. Cela permet, par exemple, de déterminer la probabilité de ne pas gagner à un jeu sans compter à nouveau toutes les issues possibles.
Le cours
Un évènement est une condition qui peut être réalisée ou non lors d’une expérience aléatoire. L’évènement contraire de A, noté A̅, se réalise exactement lorsque A ne se réalise pas. Il rassemble toutes les issues qui n’appartiennent pas à A.
Un évènement et son contraire ne peuvent pas se réaliser en même temps. En revanche, l’un des deux se réalise forcément : leurs probabilités ont donc pour somme 1. On écrit P(A) + P(A̅) = 1.
Pour calculer la probabilité de l’évènement contraire, on soustrait à 1 la probabilité de l’évènement connu : P(A̅) = 1 − P(A). Si les probabilités sont exprimées en pourcentages, on soustrait le pourcentage connu à 100 %. Avec une fraction, on peut écrire 1 sous la forme d’une fraction de même dénominateur avant de soustraire.
Avant de calculer, formule précisément le contraire en utilisant « ne… pas ». Par exemple, le contraire de « obtenir une boule rouge » est « ne pas obtenir une boule rouge » : cela comprend toutes les autres couleurs, pas seulement une couleur choisie. Vérifie enfin que la probabilité obtenue est comprise entre 0 et 1, ou entre 0 % et 100 %.
Des exemples
Dans un jeu, la probabilité de gagner est 0,43. Quelle est la probabilité de ne pas gagner ?
« Ne pas gagner » est l’évènement contraire de « gagner ». La somme de leurs probabilités vaut 1. On calcule donc 1 − 0,43 = 57/100. La probabilité de ne pas gagner est 57/100.
La probabilité qu’un colis arrive en retard est de 17 %. Quelle est la probabilité qu’il n’arrive pas en retard ?
« Ne pas arriver en retard » est le contraire de « arriver en retard ». Cela comprend une arrivée à l’heure ou en avance. Les pourcentages ont pour somme 100 %. On calcule 100 − 17 = 83. La probabilité que le colis n’arrive pas en retard est donc de 83 %.
On tire au hasard un jeton dans un sac. La probabilité d’obtenir un jeton bleu est 7/19. Quelle est la probabilité de ne pas obtenir un jeton bleu ?
L’évènement contraire rassemble tous les tirages d’un jeton qui n’est pas bleu. Sa probabilité est 1 − 7/19. Pour effectuer la soustraction, on écrit le total sous la forme d’une fraction de même dénominateur que 7/19, puis on soustrait les numérateurs. On obtient 12/19.
À retenir
- L’évènement contraire de A se réalise lorsque A ne se réalise pas.
- Il comprend toutes les issues qui ne réalisent pas A.
- P(A) + P(A̅) = 1.
- Pour trouver la probabilité contraire : P(A̅) = 1 − P(A).
- En pourcentage, on soustrait le pourcentage connu à 100 %.
- Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.
Les mots de la leçon
- Issue
- Résultat possible d’une expérience aléatoire.
- Évènement
- Ensemble des issues qui vérifient une condition donnée.
- Évènement contraire
- Évènement formé de toutes les issues qui ne réalisent pas l’évènement de départ.
- Probabilité
- Nombre compris entre 0 et 1 qui mesure les chances qu’un évènement se réalise.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeSi un tirage a une probabilité p de donner un jeton rouge, la probabilité de ne pas obtenir de rouge est 1 − p. « Obtenir du rouge » et « ne pas obtenir de rouge » couvrent tous les résultats possibles, sans pouvoir se produire ensemble.
La probabilité qu'une lampe s'allume lors d'un essai est 0,37. Quelle est la probabilité qu'elle ne s'allume pas ?
- L'évènement étudié est « la lampe s'allume ». Son contraire est « la lampe ne s'allume pas ».Lors de cet essai, la lampe s'allume ou ne s'allume pas : aucune autre possibilité n'est oubliée.
- On utilise P(la lampe ne s'allume pas) = 1 − P(la lampe s'allume).Les probabilités d'un évènement et de son contraire ont pour somme 1.
- La probabilité cherchée s'écrit exactement 1 − 0,37.On retire de la probabilité totale la probabilité que la lampe s'allume.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Déterminer la probabilité qu’un évènement ne se réalise pas à partir de la probabilité qu’il se réalise.
- Au programme
- 4e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 10 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers