Mathématiques · 4e · environ 10 min
Écrire une puissance de 10 d’exposant négatif sous forme décimale
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Dessine un tableau avec les colonnes : unités | dixièmes | centièmes | millièmes | dix-millièmes | cent-millièmes | millionièmes. Pour 10⁻⁵, place le chiffre 1 dans la cinquième colonne après les unités. Complète toutes les cases précédentes avec des zéros, puis place la virgule après les unités.
Cette règle de placement direct du chiffre 1 concerne les puissances de dix. Ici, le tableau permet de traiter les exposants de −6 à −1.
Pour un entier positif n, 10⁻ⁿ = 1/10ⁿ. Commence donc par former le dénominateur : un chiffre 1 suivi de n zéros. Écris ensuite la fraction sous forme décimale. Tu peux vérifier que ton nombre est positif et strictement inférieur à un.
La relation avec l’inverse vaut pour toute puissance d’une base non nulle. L’écriture avec un chiffre 1 suivi de zéros est propre aux puissances de dix d’exposant entier positif.
Prends une bande de papier qui représente une unité. Partage-la en dix morceaux égaux : un morceau représente 10⁻¹. Dessine ensuite un agrandissement de ce morceau et partage-le encore en dix : une nouvelle petite part représente 10⁻² de l’unité de départ. Chaque nouveau partage en dix fait passer au rang décimal suivant.
La manipulation devient peu pratique après quelques partages. Pour les exposants jusqu’à −6, poursuis avec un dessin agrandi ou un tableau de numération, sans chercher à découper des morceaux minuscules.
Les pièges
Écrire un résultat négatif parce que l’exposant est négatif.
Le signe « moins » appartient à l’exposant. Remplace la puissance par une fraction : le numérateur et le dénominateur sont positifs.
Placer autant de zéros entre la virgule et le chiffre 1 que la valeur de l’exposant sans son signe.
Compte les places après la virgule en incluant celle du chiffre 1. Pour 10⁻ⁿ, le chiffre 1 occupe la n-ième place : il y a donc n − 1 zéros entre la virgule et lui.
Écrire une grande puissance positive à la place d’un petit nombre décimal.
Écris d’abord l’inverse. Avec une base égale à dix et un exposant négatif, ton résultat doit être positif et inférieur à un.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Les puissances de 10 d’exposant négatif permettent d’écrire simplement de très petits nombres, par exemple dans des mesures. Savoir les convertir en écriture décimale permet de lire ces nombres et de les utiliser dans des calculs.
Le cours
Une puissance de 10 d’exposant négatif est l’inverse d’une puissance de 10 d’exposant positif. Pour un entier n compris entre 1 et 6, on a : 10⁻ⁿ = 1 / 10ⁿ. Par exemple, 10⁻³ = 1 / 10³ = 1 / 1 000 = 0,001.
Pour écrire 10⁻ⁿ sous forme décimale, on écrit 0 suivi d’une virgule, puis on place le chiffre 1 au n-ième rang après la virgule. Toutes les places entre la virgule et ce chiffre 1 sont occupées par des zéros.
L’écriture décimale de 10⁻ⁿ comporte donc exactement n chiffres après la virgule : n − 1 zéros, puis le chiffre 1. Le zéro situé avant la virgule ne compte pas parmi les chiffres après la virgule.
Les valeurs à connaître sont : 10⁻¹ = 0,1 ; 10⁻² = 0,01 ; 10⁻³ = 0,001 ; 10⁻⁴ = 0,0001 ; 10⁻⁵ = 0,00001 ; 10⁻⁶ = 0,000001. Quand l’exposant diminue d’une unité, le nombre est divisé par 10.
Attention : un exposant négatif ne rend pas le résultat négatif. Toutes ces puissances de 10 sont strictement positives et inférieures à 1. Ainsi, 10⁻² n’est pas égal à −100 : c’est l’inverse de 100, soit 0,01.
Des exemples
Écris la puissance 10^(-2) sous forme décimale.
L’exposant -2 indique que l’on prend l’inverse de la puissance correspondante d’exposant positif. Le chiffre final se place au rang des centièmes : 1/100.
Donne l’écriture décimale de 10^(-4).
On utilise la distance de l’exposant -4 à zéro pour déterminer le nombre de chiffres après la virgule. On complète les places précédant le chiffre final avec des zéros : 1/10000.
Écris 10^(-5) sans utiliser de puissance.
L’exposant -5 est négatif : le résultat est positif et inférieur à l’unité. Le rang du chiffre final est donné par la distance de l’exposant à zéro : 1/100000.
À retenir
- 10⁻ⁿ = 1 / 10ⁿ : l’exposant négatif indique un inverse.
- Pour 10⁻ⁿ, le chiffre 1 est au n-ième rang après la virgule.
- Il y a n − 1 zéros entre la virgule et le chiffre 1.
- Le zéro avant la virgule ne se compte pas dans les chiffres après la virgule.
- Une puissance de 10 d’exposant négatif est positive et inférieure à 1.
Les mots de la leçon
- Puissance
- Expression formée d’une base et d’un exposant. Pour un exposant entier positif, elle représente un produit de facteurs tous égaux à la base ; pour un exposant entier négatif, elle représente l’inverse de la puissance d’exposant opposé.
- Exposant
- Nombre écrit en petit, en haut à droite de la base. Dans 10⁻³, la base est 10 et l’exposant est −3.
- Inverse
- L’inverse d’un nombre non nul a est le nombre 1 / a. Le produit d’un nombre par son inverse est égal à 1.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeUn exposant négatif indique qu’on prend l’inverse d’une puissance de dix : 10⁻³ = 1/1 000 = 0,001. Le signe « moins » de l’exposant ne rend donc pas le résultat négatif.
Écris 10⁻⁴ sous forme décimale.
- Écris 10⁻⁴ = 1/10⁴.Un exposant négatif indique qu’on prend l’inverse de la puissance correspondante.
- Calcule le dénominateur : 10⁴ = 10 000.Une puissance de dix d’exposant positif s’écrit avec un chiffre 1 suivi du nombre de zéros indiqué par l’exposant.
- Écris 1/10 000 = 0,0001.Un dix-millième s’écrit avec le chiffre 1 au quatrième rang après la virgule.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Donner l’écriture décimale d’une puissance de 10 dont l’exposant est un entier compris entre −6 et −1.
- Au programme
- 4e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 10 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers