Mathématiques · 4e · environ 10 min
Écrire un produit de puissances de même base comme une seule puissance
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Imagine une rangée de m cases contenant chacune la lettre a, puis une autre rangée de n cases contenant aussi a. Entre les cases, place des signes ×. Réunis les rangées : tu obtiens m + n cases contenant a, donc la puissance a^(m + n).
Les cases doivent toutes contenir la même base. Ici, les exposants sont des entiers positifs.
Choisis une base et inscris-la sur plusieurs jetons. Constitue deux groupes : le nombre de jetons de chaque groupe représente son exposant. Réunis les groupes sans modifier les inscriptions. Pour écrire le produit comme une puissance, conserve la base inscrite et compte tous les jetons.
Un jeton représente un facteur, pas une unité à additionner. Cette manipulation convient aux exposants entiers positifs et aux bases identiques.
Compare a^m × a^n et (a^m)^n. Dans le premier cas, tu réunis deux groupes de facteurs : tu additionnes les exposants. Dans le second, tu répètes tout le groupe a^m : c’est une autre situation. Avant de calculer, repère donc le signe placé entre les puissances.
La règle travaillée ici concerne seulement un produit de puissances de même base. Elle ne s’applique pas à une somme.
Les pièges
Multiplier les exposants dans un produit de puissances.
Déplie chaque puissance en facteurs : tu réunis deux groupes. Pour compter tous les facteurs, additionne les exposants.
Multiplier les bases et conserver un exposant.
Tous les facteurs ont déjà la même base. Garde cette base et modifie seulement le nombre total de facteurs.
Appliquer la règle à une somme ou à des bases différentes.
Vérifie les deux conditions : un produit et des bases identiques. Sans elles, cette règle ne permet pas de réunir les puissances.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Pour simplifier un calcul, on peut écrire un produit de puissances de même base sous la forme d’une seule puissance. Cela permet de travailler avec des nombres parfois très grands sans calculer leur valeur.
Le cours
Une puissance est une multiplication de facteurs tous égaux. Dans aⁿ, a est la base et n est l’exposant : lorsque n est un entier positif, il indique combien de facteurs égaux à a sont multipliés.
Pour multiplier deux puissances de même base, on conserve la base et on additionne les exposants : aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, où m et n sont des entiers positifs.
Cette règle vient du nombre de facteurs : aᵐ contient m facteurs égaux à a et aⁿ en contient n. Leur produit contient donc m + n facteurs égaux à a.
Avant d’appliquer la règle, on vérifie que l’opération est une multiplication et que les bases sont identiques. On ne multiplie ni les bases ni les exposants. Cette règle ne s’applique pas à une addition de puissances.
Le résultat demandé est une seule puissance : on calcule la somme des exposants, puis on l’écrit comme exposant de la base conservée. Il n’est pas nécessaire de calculer la valeur de cette puissance.
Des exemples
Écris 7^7 × 7^4 sous la forme d’une seule puissance.
Les deux puissances ont la même base : 7. On conserve cette base et on additionne les exposants : 7 + 4 = 11. Donc 7^7 × 7^4 = 7^11.
Écris 6^9 × 6^6 sous la forme d’une seule puissance.
La base commune est 6. Les exposants sont 9 et 6 : leur somme vaut 15. Ainsi, 6^9 × 6^6 = 6^15. On laisse le résultat sous cette forme, sans calculer la valeur de la puissance.
Écris x^8 × x^5 sous la forme d’une seule puissance.
La règle s’applique aussi lorsque la base est représentée par une lettre. On conserve x et on additionne les exposants : 8 + 5 = 13. Donc x^8 × x^5 = x^13.
À retenir
- Vérifier qu’il s’agit d’un produit et que les bases sont identiques.
- Conserver la base commune.
- Additionner les exposants : aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
- Ne pas multiplier les exposants.
- Donner une seule puissance, sans forcément calculer sa valeur.
Les mots de la leçon
- Puissance
- Écriture abrégée d’un produit de facteurs tous égaux, lorsque l’exposant est un entier positif.
- Base
- Nombre ou expression que l’on multiplie par lui-même dans une puissance.
- Exposant
- Nombre écrit en haut à droite de la base. Lorsqu’il est un entier positif, il indique le nombre de facteurs égaux à la base.
- Produit
- Résultat d’une multiplication.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeUne puissance compte des facteurs identiques : dans un produit de puissances de même base, on rassemble tous ces facteurs. Ainsi, a^m × a^n = a^(m + n) : tu gardes la base et tu additionnes les exposants.
Écris t^m × t^n comme une seule puissance, avec m et n entiers positifs.
- t^m représente un produit de m facteurs égaux à t.L’exposant indique combien de fois la base apparaît comme facteur.
- t^n apporte encore n facteurs égaux à t.Les deux puissances ont exactement la même base.
- Écris t^m × t^n = t^(m + n).On compte tous les facteurs : il y en a m + n. La base ne change pas.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Exprimer le produit de deux puissances de même base sous la forme d’une seule puissance, pour des exposants entiers positifs.
- Au programme
- 4e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 10 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers