Mathématiques · 4e · environ 20 min

Multiplier deux nombres relatifs et justifier la règle des signes

Je m'entraîne

S'entraîner : une série dédiée, en paliers Rituel : Calcul mental

Explique-moi autrement

Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.

Pour représenter (−2) × 3, trace une droite graduée et pars de zéro. Dessine trois flèches successives de longueur deux, toutes dirigées vers la gauche. Ton point d'arrivée est à gauche de zéro : le produit est négatif. Si le facteur négatif est placé à droite, échange les facteurs avant de dessiner : cela ne change pas le produit.

Cette représentation par déplacements répétés convient lorsque le facteur positif est entier. Elle ne justifie pas, à elle seule, le produit de deux facteurs négatifs.

Les pièges

Donner un résultat négatif dès qu'un signe négatif apparaît.
Repère les deux signes avant de calculer. Avec deux facteurs négatifs, la distributivité montre que le produit est positif.
Appliquer la règle des signes de la multiplication à une addition.
Commence par repérer le symbole de l'opération. Deux nombres négatifs ont un produit positif, mais leur somme reste négative.
Réciter la règle sans expliquer pourquoi le produit de deux nombres négatifs est positif.
Pars d'une somme de deux nombres opposés, multiplie-la par un nombre négatif, puis distribue. Les deux produits obtenus doivent s'annuler.

Je me teste

2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.

La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer

La leçon

Ce qu'il faut savoir

Multiplier des nombres relatifs permet de calculer avec des quantités positives ou négatives, par exemple pour déterminer une variation de température répétée. Pour trouver le résultat, il faut déterminer son signe et calculer sa distance à zéro.

Le cours

Dans une multiplication, les nombres multipliés s’appellent les facteurs et le résultat s’appelle le produit. La distance à zéro d’un nombre est ce nombre sans son signe : par exemple, la distance à zéro de −8 est 8. Le produit de deux nombres positifs se calcule comme d’habitude et il est positif.
Si un seul facteur est négatif, le produit est négatif. On multiplie les distances à zéro des facteurs, puis on place le signe moins devant le résultat. L’ordre des facteurs ne change pas le produit : un nombre positif multiplié par un nombre négatif donne le même résultat que ces deux facteurs dans l’ordre inverse.
Cette règle s’explique par la distributivité : a × (b + c) = a × b + a × c. Prenons deux nombres positifs a et b. Comme b + (−b) = 0, on a a × b + a × (−b) = a × 0 = 0. Ainsi, a × (−b) est l’opposé de a × b : il est donc négatif.
Pour comprendre le produit de deux nombres négatifs, utilisons encore la distributivité, avec a et b positifs : (−a) × b + (−a) × (−b) = (−a) × (b + (−b)) = 0. Le premier produit, (−a) × b, est négatif d’après la règle précédente. Le second doit être son opposé pour que leur somme soit nulle : (−a) × (−b) est donc positif et vaut a × b.
Pour calculer un produit de deux facteurs non nuls, détermine d’abord son signe : des facteurs de même signe donnent un produit positif ; des facteurs de signes différents donnent un produit négatif. Multiplie ensuite leurs distances à zéro et écris le résultat avec le signe prévu. Si l’un des facteurs est nul, le produit est nul. Ces règles s’appliquent aussi aux nombres décimaux.

Des exemples

Calcule (13) × (-7).
Le facteur 13 est positif et le facteur -7 est négatif. Les facteurs sont de signes différents : le produit est négatif. On multiplie leurs distances à zéro, puis on place le signe moins devant le résultat : (13) × (-7) = -91.
Calcule (-2,4) × (6).
Le facteur -2,4 est négatif et le facteur 6 est positif : le produit est négatif. La présence d’un nombre décimal ne change pas la règle. On multiplie les distances à zéro des facteurs et on obtient : (-2,4) × (6) = -72/5.
Calcule (-11) × (-9) et explique le signe du résultat.
Les facteurs -11 et -9 sont négatifs : leur produit est positif. En effet, par distributivité, ce produit est l’opposé du produit de -11 par l’opposé de -9, qui est négatif. On multiplie donc les distances à zéro des facteurs : (-11) × (-9) = 99.
Calcule (0) × (-17).
Le facteur 0 est nul. Un produit qui contient un facteur nul est nul, quel que soit l’autre facteur : (0) × (-17) = 0.

À retenir

Deux facteurs non nuls de même signe donnent un produit positif.
Deux facteurs non nuls de signes différents donnent un produit négatif.
On calcule la distance à zéro du produit en multipliant celles des facteurs.
Si un facteur est nul, le produit est nul.
La distributivité permet de justifier la règle des signes.
La règle des signes d’un produit ne doit pas être confondue avec les règles de l’addition.

Les mots de la leçon

Facteur: Nombre que l’on multiplie par un autre dans une multiplication.
Produit: Résultat d’une multiplication.
Distance à zéro: Distance entre un nombre et zéro sur une droite graduée. Elle est toujours positive ou nulle.
Opposé: L’opposé d’un nombre est le nombre qui, ajouté à celui-ci, donne zéro.
Distributivité: Propriété qui permet de multiplier une somme par un nombre en multipliant chaque terme de la somme par ce nombre, puis en additionnant les produits.

Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape

RegardeSur une droite graduée, multiplier un nombre négatif par un entier positif revient à répéter un déplacement vers la gauche : le produit reste négatif. Pour comprendre le produit de deux nombres négatifs, on utilise la distributivité : les produits de −p par q et par −q doivent s'annuler, donc ils sont opposés.

On prend deux nombres positifs p et q. Justifie que (−p) × (−q) est positif en partant du produit (−p) × q.

Le produit (−p) × q est négatif et s'écrit −(p × q).Multiplier −p par un nombre positif conserve le signe négatif et multiplie les distances à zéro.
Comme q + (−q) = 0, on a (−p) × [q + (−q)] = 0.La somme de deux nombres opposés est nulle, et tout produit comportant un facteur nul est nul.
En distribuant, on obtient (−p) × q + (−p) × (−q) = 0.Multiplier une somme revient à multiplier chaque terme, puis à additionner les produits.
Ainsi, −(p × q) + (−p) × (−q) = 0 : le produit recherché est donc p × q, qui est positif.Pour annuler −(p × q), il faut ajouter son opposé, c'est-à-dire p × q. Le signe positif est donc une conséquence de la distributivité.

Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider

Ce que votre enfant apprend: Calculer d’abord un produit dont un seul facteur est négatif, puis justifier par la distributivité que le produit de deux nombres négatifs est positif et appliquer cette règle.
Au programme: 4e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
Combien de temps: Environ 20 minutes, en une fois ou en plusieurs.

Comment l'accompagner

Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.

Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers