Traduire un programme de calcul avec le vocabulaire des opérations

Le vocabulaire des opérations permet de décrire précisément un programme de calcul et de comprendre comment une expression est construite. On l’utilise pour passer d’une suite de consignes à une expression, ou pour retrouver les étapes d’un calcul à partir d’une phrase.

Le cours

1. Une somme est le résultat d’une addition ; une différence, celui d’une soustraction ; un produit, celui d’une multiplication ; un quotient, celui d’une division. Les nombres additionnés ou soustraits sont des termes ; les nombres multipliés sont des facteurs. Dans un quotient, le diviseur doit être différent de zéro.

2. Pour traduire un programme de calcul, on suit les consignes dans l’ordre et on conserve le résultat de chaque étape pour la suivante. Si le nombre choisi est noté x, « ajouter un nombre a, puis multiplier le résultat par b » s’écrit (x + a) × b. On peut dire : « le produit de la somme de x et de a par b ».

3. Pour décrire une expression, on repère l’opération effectuée en dernier : elle donne le nom de l’expression entière. Ainsi, x + a × b est une somme : la somme de x et du produit de a par b. En revanche, (x + a) × b est un produit : le produit de la somme de x et de a par b.

4. Pour passer d’une description à une expression, on traduit chaque groupe de mots et on place les parenthèses nécessaires. « Le quotient de la somme de x et de a par b » s’écrit (x + a) ÷ b, avec b différent de zéro. Les parenthèses imposent de calculer toute la somme avant de diviser. Sans parenthèses, les multiplications et les divisions sont prioritaires sur les additions et les soustractions.

5. L’ordre des nombres est essentiel pour une différence ou un quotient : « la différence de a et de b » s’écrit a − b, et « le quotient de a par b » s’écrit a ÷ b. Avec des nombres relatifs, on garde leur signe et on utilise des parenthèses si nécessaire, notamment lorsqu’on soustrait un nombre négatif.

Des exemples

• Choisis un nombre x. Calcule la différence de -17 et de 6, puis multiplie le résultat par x. Décris ce programme avec le vocabulaire des opérations et écris l’expression correspondante.

  On calcule d’abord une différence, puis un produit. Le programme donne donc « le produit de la différence de -17 et de 6 par x ». L’expression est (-17 − 6) × x. Les parenthèses regroupent la différence à calculer avant la multiplication. Comme -17 − 6 = -23, on peut aussi écrire (-23) × x.

• Choisis un nombre x. Calcule le produit de -8 par 9, puis ajoute ce produit à x. Décris le résultat avec le vocabulaire des opérations et écris l’expression correspondante.

  La dernière opération est une addition : le résultat est « la somme de x et du produit de -8 par 9 ». L’expression est x + (-8) × 9. La multiplication est prioritaire : il n’est pas nécessaire d’entourer le produit de parenthèses supplémentaires. Comme (-8) × 9 = -72, cette expression peut aussi s’écrire x + (-72).

• Traduis « le quotient de la somme de -13 et de 18 par x » en programme de calcul et en expression. Le nombre x est non nul.

  Programme : choisis un nombre x non nul ; additionne -13 et 18 ; divise la somme obtenue par x. L’expression est (-13 + 18) ÷ x. Les parenthèses indiquent que toute la somme est divisée par x. Comme -13 + 18 = 5, on peut aussi écrire 5 ÷ x. Sans ces parenthèses, seule la quantité 18 serait divisée par x.