Mathématiques · 4e · environ 10 min
Diviser deux nombres relatifs
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Pour comprendre (−30) ÷ (−6), cherche le nombre qui complète : (−6) × … = −30. Un nombre négatif multiplié par un nombre positif donne un nombre négatif : le facteur recherché est donc positif. Comme 6 × 5 = 30, le quotient est 5.
Cette recherche fonctionne pour tout diviseur non nul. Si le diviseur est zéro, elle ne permet pas de définir un quotient.
Imagine un tableau : les lignes portent le signe du nombre à diviser, les colonnes celui du diviseur. Les cases (+, +) et (−, −) contiennent + ; les cases (+, −) et (−, +) contiennent −. Lis d’abord la bonne case, puis effectue la division sans les signes.
Ce tableau concerne les nombres non nuls. Si le nombre à diviser vaut zéro et que le diviseur est non nul, le quotient vaut zéro. Il ne faut pas utiliser ce tableau pour une addition ou une soustraction.
Un ascenseur descend régulièrement : sa variation d’altitude est de −18 mètres en 6 secondes. Pour trouver la variation par seconde, partage −18 en 6 parts égales : (−18) ÷ (+6) = −3 mètres par seconde. Le signe négatif indique la descente.
Ce partage concret explique une division par une quantité positive. Pour un diviseur négatif, utilise plutôt le facteur manquant ou le tableau des signes.
Les pièges
Garder un signe négatif dès qu’on voit un nombre négatif.
Compare les deux signes avant de calculer : identiques, le quotient est positif ; différents, il est négatif.
Inverser le nombre à diviser et le diviseur.
Repère le nombre de départ et celui par lequel tu divises. Vérifie ensuite que ton quotient multiplié par le diviseur redonne le nombre de départ.
Accepter une division par zéro.
Regarde toujours le diviseur avant de commencer. S’il vaut zéro, indique que la division est impossible.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Diviser deux nombres relatifs permet de calculer un quotient lorsque les nombres peuvent être positifs ou négatifs. On s’en sert aussi dans les calculs qui enchaînent plusieurs opérations.
Le cours
Diviser un nombre a par un nombre b non nul, c’est chercher le nombre qui, multiplié par b, donne a. On note ce quotient a ÷ b ou sous forme de fraction, avec a au numérateur et b au dénominateur.
Pour diviser deux nombres relatifs non nuls, on détermine d’abord le signe du quotient : si les deux nombres sont de même signe, le quotient est positif ; s’ils sont de signes contraires, le quotient est négatif.
On divise ensuite leurs distances à zéro, c’est-à-dire leurs valeurs sans le signe. On donne au résultat le signe déterminé précédemment. Par exemple, pour un nombre négatif divisé par un nombre positif, on effectue la division sans les signes, puis on place un signe moins devant le résultat.
On ne peut jamais diviser par zéro. En revanche, zéro divisé par un nombre non nul donne zéro. Pour vérifier un quotient, on peut le multiplier par le diviseur : on doit retrouver le dividende.
Dans un enchaînement d’opérations, on calcule d’abord les expressions entre parenthèses. Les multiplications et les divisions sont prioritaires sur les additions et les soustractions. Lorsque des multiplications et des divisions se suivent sans parenthèses, on les effectue de gauche à droite.
Des exemples
Calcule (187) ÷ (11).
Les nombres 187 et 11 sont positifs : le quotient est positif. On divise leurs distances à zéro et on obtient 17. Ce résultat, multiplié par 11, redonne 187.
Calcule (-156) ÷ (-12).
Les nombres -156 et -12 sont tous les deux négatifs : le quotient est positif. On divise leurs distances à zéro et on obtient 13. Ce résultat, multiplié par -12, redonne -156.
Calcule (148) ÷ (-8).
Le dividende 148 est positif et le diviseur -8 est négatif : le quotient est négatif. On divise leurs distances à zéro, puis on place le signe moins : le quotient est -37/2. Un quotient peut être un nombre décimal.
Calcule (-94,5) ÷ (7).
Le dividende -94,5 est négatif et le diviseur 7 est positif : le quotient est négatif. On divise leurs distances à zéro, puis on place le signe moins : le quotient est -27/2. Ce résultat, multiplié par 7, redonne -94,5.
À retenir
- Le diviseur doit toujours être différent de zéro.
- Deux nombres non nuls de même signe donnent un quotient positif.
- Deux nombres de signes contraires donnent un quotient négatif.
- On détermine le signe, puis on divise les distances à zéro.
- Zéro divisé par un nombre non nul donne zéro.
- Pour vérifier : quotient × diviseur = dividende.
Les mots de la leçon
- Dividende
- Nombre que l’on divise.
- Diviseur
- Nombre par lequel on divise. Il doit être non nul.
- Quotient
- Résultat d’une division.
- Distance à zéro
- Distance entre un nombre et zéro sur une droite graduée. Elle correspond à la valeur du nombre sans son signe.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeDiviser, c’est chercher le nombre qui, multiplié par le diviseur, redonne le nombre de départ : (−24) ÷ (+6) = −4, car (−4) × (+6) = −24. Pour un diviseur non nul, des signes identiques donnent un quotient positif et des signes différents donnent un quotient négatif. On divise ensuite les distances à zéro ; zéro divisé par un nombre non nul donne zéro.
Calcule (−45) ÷ (−9).
- Le diviseur −9 est différent de zéro : la division est possible.On ne peut jamais diviser par zéro.
- Les deux nombres sont négatifs : le quotient est positif.Deux nombres de même signe ont un quotient positif.
- Calcule 45 ÷ 9 = 5.Une fois le signe trouvé, on divise les distances à zéro.
- Écris (−45) ÷ (−9) = 5, puis vérifie : 5 × (−9) = −45.Le quotient multiplié par le diviseur doit redonner le nombre de départ.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Calculer le quotient de deux nombres relatifs dont le diviseur est non nul, en déterminant son signe et sa valeur.
- Au programme
- 4e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 10 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers