Résoudre une équation avec une balance

Résoudre une équation permet de trouver une valeur inconnue à partir d’une égalité. On s’en sert pour déterminer, par exemple, un prix, une longueur ou une quantité lorsqu’on connaît des relations entre les données.

Le cours

1. Une équation est une égalité qui contient une inconnue, souvent notée x. Le membre de gauche est l’expression située avant le signe = ; le membre de droite est celle située après. Une solution est une valeur de l’inconnue qui rend cette égalité vraie. Résoudre l’équation, c’est trouver toutes ses solutions.

2. On représente l’égalité par une balance en équilibre : chaque plateau correspond à un membre. Pour conserver l’équilibre, on ajoute ou on retire la même quantité des deux côtés. De même, on peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul. Ces transformations sont réversibles : elles conservent exactement les mêmes solutions. La balance aide à comprendre le principe ; les règles de calcul restent valables avec des nombres négatifs, même si on ne les représente pas par des masses ordinaires.

3. Pour résoudre une équation du premier degré, on commence, si nécessaire, par développer les parenthèses et réduire les expressions dans chaque membre. On rassemble ensuite les termes contenant x dans un membre en soustrayant le même terme aux deux membres. Puis on rassemble les nombres seuls dans l’autre membre, toujours en effectuant la même opération des deux côtés. À chaque étape, on écrit la nouvelle égalité et on précise l’opération effectuée.

4. On obtient ainsi une égalité de la forme A × x = B, où A et B sont des nombres. Si A est non nul, on divise les deux membres par A : la solution est x = B/A. Cela fonctionne aussi lorsque A est négatif. Attention : on ne divise jamais par zéro. Si les termes contenant x disparaissent, une égalité vraie signifie que tous les nombres sont solutions ; une égalité fausse signifie qu’il n’y a aucune solution.

5. Pour vérifier une solution, on remplace x par la valeur trouvée dans l’équation de départ, puis on calcule séparément chaque membre. Si les résultats sont égaux, la valeur convient. On termine par une phrase qui donne la solution. Dire seulement qu’un terme « change de côté et change de signe » ne justifie pas la transformation : il faut expliquer quelle même opération a été effectuée sur les deux membres.

Des exemples

• Résous l’équation x + 23 = 61 en justifiant la transformation.

  On soustrait 23 aux deux membres : x + 23 − 23 = 61 − 23. On obtient x = 38. Soustraire la même quantité des deux côtés conserve les solutions, car on peut revenir à l’égalité précédente en ajoutant cette quantité aux deux membres. Vérification : 38 + 23 = 61. La solution est donc 38.

• Résous l’équation 7x + 19 = 68 en expliquant comment conserver l’équilibre.

  On soustrait 19 aux deux membres : 7x = 68 − 19. On divise ensuite les deux membres par 7, qui est non nul : x = (68 − 19) / 7 = 7. Ces opérations conservent les mêmes solutions puisqu’elles sont effectuées des deux côtés et sont réversibles. Vérification dans l’équation de départ : 7 × 7 + 19 = 68. La solution est donc 7.

• Résous l’équation 4x + 29 = 9x + 64. Justifie chaque transformation, même si un nombre négatif apparaît.

  On soustrait 9x aux deux membres : (4 − 9)x + 29 = 64. On soustrait ensuite 29 aux deux membres : (4 − 9)x = 64 − 29. Enfin, on divise les deux membres par (4 − 9), qui est non nul : x = (64 − 29) / (4 − 9) = -7. À chaque étape, la même opération réversible est effectuée des deux côtés : les solutions sont donc conservées. Pour vérifier, on calcule séparément 4 × (-7) + 29 et 9 × (-7) + 64 : on obtient le même nombre. La solution est donc -7.