Traduire une règle générale par une égalité littérale

Une égalité littérale permet d’écrire avec des lettres une règle valable pour tous les nombres concernés. On s’en sert pour exprimer une propriété de calcul ou expliquer pourquoi des expressions donnent toujours le même résultat.

Le cours

1. Pour traduire une règle générale, on remplace les nombres quelconques par des lettres, par exemple a, b et k. Une même lettre représente le même nombre dans toute l’égalité. Des lettres différentes peuvent représenter des nombres différents, mais aussi prendre la même valeur.

2. On repère les opérations décrites par la règle, puis on écrit les expressions correspondantes de chaque côté du signe =. Par exemple, « changer l’ordre des termes d’une somme ne change pas cette somme » se traduit par a + b = b + a. Cette égalité est valable pour tous les nombres a et b.

3. La distributivité traduit la règle suivante : multiplier une somme par un nombre revient à multiplier chaque terme de la somme par ce nombre, puis à additionner les produits. Pour tous les nombres k, a et b, on écrit : k × (a + b) = k × a + k × b, ou, plus simplement, k(a + b) = ka + kb.

4. Les parenthèses sont essentielles : dans k(a + b), le facteur k multiplie toute la somme a + b. Il faut donc retrouver k dans chacun des produits ka et kb. La distributivité s’applique aussi à une différence : k(a − b) = ka − kb.

5. Pour contrôler la traduction, on relit chaque expression en suivant l’ordre des opérations et on vérifie qu’elle correspond bien à la règle annoncée. Remplacer les lettres par des nombres peut aider à repérer une erreur, mais un calcul particulier ne suffit pas à prouver qu’une égalité est vraie pour tous les nombres.

Des exemples

• Traduis la règle : « Changer l’ordre des termes d’une somme ne change pas le résultat. » Illustre-la avec 34 et 57.

  On note a et b les nombres quelconques. La règle s’écrit a + b = b + a. Avec les valeurs proposées, 34 + 57 = 57 + 34 = 91. Le calcul illustre la règle ; l’égalité avec les lettres l’exprime dans le cas général.

• Traduis la règle : « Pour multiplier une somme par un nombre, on multiplie chaque terme par ce nombre, puis on additionne les produits. » Illustre-la avec le facteur 13 et la somme 28 + 28.

  On appelle k le facteur, et a et b les termes d’une somme quelconque. La règle s’écrit k(a + b) = ka + kb. Dans l’illustration proposée, les termes de la somme ont la même valeur : 13 × (28 + 28) = 13 × 28 + 13 × 28. Chaque produit du membre de droite vaut 364 ; le membre de droite vaut donc 364 + 364.