Rédiger une démonstration par transformations algébriques

Une démonstration par transformations algébriques permet de prouver qu’une propriété est vraie pour toutes les valeurs autorisées, et pas seulement pour quelques nombres essayés. On l’utilise pour justifier une égalité, expliquer un programme de calcul ou établir une propriété géométrique.

Le cours

1. Commence par choisir une lettre et préciser ce qu’elle représente ainsi que ses valeurs autorisées. Par exemple, x peut représenter un nombre quelconque, n un nombre entier ou L une longueur positive. Traduis ensuite les calculs ou les grandeurs de l’énoncé par des expressions littérales. Si une expression contient une division, son diviseur doit être différent de zéro.

2. Pour démontrer que deux expressions sont égales, tu peux transformer l’une jusqu’à obtenir l’autre, ou transformer les deux jusqu’à obtenir une même expression. Chaque transformation doit conserver la valeur de l’expression pour toutes les valeurs autorisées. Écris les égalités dans l’ordre, sans partir de l’affirmation à démontrer comme si elle était déjà vraie.

3. Développe les produits si nécessaire grâce à la distributivité : a(b + c) = ab + ac et a(b − c) = ab − ac. Fais attention aux signes : lorsqu’on supprime des parenthèses précédées d’un signe moins, tous les signes à l’intérieur changent. Par exemple, a − (b + c) = a − b − c.

4. Réduis ensuite les expressions en regroupant les termes de même nature : ax + bx = (a + b)x. Calcule les termes numériques et utilise les annulations comme x − x = 0. On ne peut pas réunir en un seul terme une somme comme x + 3, car ses termes ne sont pas de même nature.

5. Termine par une phrase qui répond à la question et précise que la propriété est vraie pour toutes les valeurs autorisées. Essayer quelques valeurs peut aider à comprendre ou à vérifier un calcul, mais ne démontre pas une propriété générale. En revanche, une seule valeur autorisée pour laquelle la propriété est fausse suffit à la réfuter : c’est un contre-exemple.

Des exemples

• Démontrer que, pour tout nombre x, la somme 8x + 17x peut s’écrire comme un seul multiple de x.

  Les deux termes contiennent le même facteur x. On utilise la distributivité pour écrire : 8x + 17x = (8 + 17)x = 25x. La somme est donc un multiple de x, et cette égalité est vraie pour tout nombre x.

• On choisit un nombre x, on lui ajoute 13, puis on multiplie la somme par 7. On soustrait ensuite 7 fois le nombre de départ. Démontrer que le résultat ne dépend pas du nombre choisi.

  Le résultat du programme s’écrit 7(x + 13) − 7x. On développe puis on réduit : 7(x + 13) − 7x = 7x + 7 × 13 − 7x = 7 × 13 = 91. Les termes contenant x s’annulent. Ainsi, quel que soit le nombre x choisi, le programme donne toujours 91.

• Démontrer que la différence entre x + 29 et x + 16, dans cet ordre, est constante pour tout nombre x.

  La différence s’écrit (x + 29) − (x + 16). On supprime les parenthèses en faisant attention au signe moins : (x + 29) − (x + 16) = x + 29 − x − 16 = 29 − 16 = 13. La lettre x a disparu de l’expression réduite. La différence vaut donc toujours 13, pour tout nombre x.