Rechercher une solution d’équation avec un outil numérique

Un tableur ou un algorithme permet de tester rapidement plusieurs valeurs de l’inconnue pour rechercher une solution d’équation. On l’utilise pour repérer une solution possible, puis la vérifier, ou pour obtenir un encadrement à la précision demandée.

Le cours

1. Résoudre une équation, c’est chercher les valeurs de l’inconnue pour lesquelles les deux membres sont égaux. Avec un outil numérique, on calcule séparément le membre de gauche et le membre de droite pour différentes valeurs de l’inconnue. On peut aussi calculer leur différence : une solution rend cette différence égale à zéro.

2. Dans un tableur, on prépare une colonne pour les valeurs de l’inconnue, une pour chaque membre et, si nécessaire, une pour leur différence. Par exemple, pour l’équation 5x + 2 = 3x + 11, si la valeur de x est dans la cellule A2, on saisit =5*A2+2 dans B2, =3*A2+11 dans C2 et =B2-C2 dans D2. On choisit ensuite d’autres valeurs de x dans la colonne A et on recopie les formules vers le bas. Les références des cellules s’adaptent à chaque ligne.

3. Pour organiser la recherche, on effectue un balayage : on teste des valeurs régulièrement espacées. L’écart entre deux valeurs testées s’appelle le pas. On peut commencer avec un pas de 1, puis recommencer dans une zone plus petite avec un pas de 0,1 ou de 0,01. Un algorithme peut automatiser ce travail : choisir une valeur de départ et un pas, calculer les deux membres, comparer leurs valeurs, puis augmenter l’inconnue du pas choisi et recommencer jusqu’à la fin de la zone étudiée.

4. Une égalité observée sur un écran donne une conjecture, c’est-à-dire une réponse que l’on pense juste mais qu’il faut vérifier. Pour prouver qu’une valeur est une solution exacte, on la remplace dans l’équation de départ et on calcule exactement les deux membres. Attention : des nombres affichés identiques peuvent être seulement des arrondis. De plus, ne pas trouver de solution parmi les valeurs testées ne prouve pas qu’il n’en existe aucune.

5. Si l’on ne trouve pas de solution exacte, on peut chercher un encadrement. Pour les expressions étudiées, lorsque la différence des membres passe d’une valeur négative à une valeur positive, ou inversement, sans rupture entre les valeurs testées, on repère une solution entre ces valeurs. On affine alors le pas. Par exemple, pour x² = 7 avec x positif, les calculs donnent 2,64² = 6,9696 et 2,65² = 7,0225 : la solution est donc comprise entre 2,64 et 2,65. Cet encadrement a une amplitude de 0,01, soit un centième. Un encadrement fournit deux bornes ; une valeur approchée fournit un seul nombre proche de la solution.

Des exemples

• Avec un tableur, recherche une solution de l’équation 7x + 9 = 3x + 37, puis vérifie-la.

  Dans une colonne, on choisit des valeurs de x ; dans les colonnes suivantes, on calcule 7x + 9 et 3x + 37. Le tableau fait conjecturer x = 7. On vérifie en remplaçant x : 7 × 7 + 9 = 3 × 7 + 37. Les calculs exacts donnent bien la même valeur dans les deux membres : 7 est une solution exacte.

• Un premier balayage avec un pas entier ne donne aucune égalité pour l’équation 8x + 5 = 2x + 26. Explique comment poursuivre la recherche.

  On calcule la différence entre 8x + 5 et 2x + 26. On repère deux valeurs consécutives de x entre lesquelles cette différence change de signe, puis on recommence entre elles avec un pas plus petit. Le tableur fait alors conjecturer x = 7/2. En remplaçant x par 7/2 dans l’équation, les calculs exacts confirment l’égalité. Une solution peut être décimale : tester seulement des entiers ne suffit pas.

• Avec un algorithme, recherche un encadrement au centième de la solution de 13x + 4 = 6x + 9.

  L’algorithme teste des valeurs régulièrement espacées et calcule la différence (13x + 4) − (6x + 9). Après avoir repéré un changement de signe, il recommence dans la zone trouvée avec un pas d’un dixième, puis d’un centième. Les deux valeurs consécutives au centième qui donnent des signes opposés forment l’encadrement demandé. La résolution algébrique donne x = 5/7 ; si l’outil affiche ce résultat sous forme décimale arrondie, cet affichage seul ne constitue pas une vérification exacte.