Mathématiques · 4e · environ 20 min

Prouver que trois entiers consécutifs ont une somme multiple de trois

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S'entraîner : une série dédiée, en paliers Rituel : Calcul mental

Explique-moi autrement

Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.

Appelle n le premier entier, puis écris les suivants : n + 1 et n + 2. Transforme leur somme : n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1). Termine en précisant que n + 1 est entier : cette somme est donc un multiple de trois. Tu as démontré le résultat pour tous les entiers, pas seulement vérifié quelques exemples.

Les trois nombres doivent être des entiers consécutifs. Cette démonstration fonctionne aussi lorsque certains sont négatifs.

Les pièges

Écrire n, n + 1 et n + 3 pour représenter trois entiers consécutifs.
Pars de n et avance d'une unité à chaque fois : n, puis n + 1, puis n + 2.
Transformer la somme en 3n sans conserver les termes constants.
Regroupe séparément les termes avec n et les termes sans n. Tu pourras ensuite mettre trois en facteur.
Vérifier plusieurs exemples et affirmer que cela prouve le résultat pour tous les entiers.
Tes exemples sont utiles pour chercher. Pour démontrer le résultat général, remplace le premier entier par n et transforme la somme.

Je me teste

2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.

La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer

La leçon

Ce qu'il faut savoir

Le calcul littéral permet de démontrer qu’une propriété est vraie pour tous les entiers, et pas seulement pour quelques exemples. On l’utilise ici pour prouver que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de trois.

Le cours

Des entiers consécutifs sont des entiers qui se suivent, avec un écart de 1 entre deux nombres voisins. Si on appelle n le premier, les deux suivants sont n + 1 et n + 2. La lettre n peut représenter n’importe quel entier, positif, négatif ou nul.
Un nombre est un multiple de 3 s’il peut s’écrire 3 × k, où k est un entier. Pour démontrer qu’une somme est multiple de 3, on cherche donc à l’écrire sous cette forme.
Écrivons la somme des trois entiers consécutifs : n + (n + 1) + (n + 2). Comme les parenthèses sont précédées du signe +, on peut les supprimer sans changer les signes. On regroupe ensuite les termes : n + n + n + 1 + 2 = 3n + 3.
On met le facteur 3 en évidence : 3n + 3 = 3 × n + 3 × 1 = 3(n + 1). Comme n est un entier, n + 1 est aussi un entier. La somme est donc le produit de 3 par un entier : c’est un multiple de 3.
Cette démonstration est valable pour tous les entiers, car aucune valeur particulière de n n’a été choisie. Elle montre aussi que la somme de trois entiers consécutifs est égale à trois fois celui du milieu. Vérifier quelques exemples permet d’observer cette propriété, mais ne suffit pas à la démontrer dans tous les cas.

Des exemples

Détermine la somme de 3 entiers consécutifs dont l’entier du milieu est 28, puis justifie qu’elle est multiple de 3.
Les entiers sont celui qui précède 28, puis 28, puis celui qui suit 28. Leur somme vaut 3 fois l’entier du milieu : 3 × 28 = 84. Elle est donc bien un multiple de 3.
Détermine la somme de 3 entiers consécutifs dont l’entier du milieu est -16. La propriété reste-t-elle vraie avec ces entiers négatifs ?
La somme vaut encore 3 fois l’entier du milieu : 3 × (-16) = -48. Puisque -16 est un entier, cette écriture prouve que -48 est un multiple de 3. Le signe des entiers ne change pas la conclusion.

À retenir

Trois entiers consécutifs s’écrivent n, n + 1 et n + 2.
Leur somme se réduit à 3n + 3.
On factorise : 3n + 3 = 3(n + 1).
Comme n + 1 est un entier, la somme est un multiple de 3.
La somme est égale à trois fois l’entier du milieu.
Une démonstration avec n établit la propriété pour tous les entiers.

Les mots de la leçon

Entiers consécutifs: Entiers qui se suivent dans l’ordre, chacun étant égal au précédent augmenté de 1.
Multiple de 3: Nombre qui peut s’écrire comme le produit de 3 par un entier.
Factoriser: Transformer une somme ou une différence en un produit en mettant un facteur commun en évidence.

Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape

RegardeChoisis un entier n : les deux entiers qui le suivent sont n + 1 et n + 2. Leur somme vaut n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1) : c'est donc un multiple de trois, quel que soit l'entier choisi.

Prouve que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de trois.

On appelle n le premier entier. Les trois entiers sont n, n + 1 et n + 2.Deux entiers consécutifs se suivent avec un écart de un. La lettre n permet de ne pas se limiter à un exemple.
On écrit leur somme : S = n + (n + 1) + (n + 2).Pour prouver une propriété sur cette somme, on commence par la traduire avec les trois expressions.
On regroupe : S = 3n + 3.Les trois termes n donnent 3n et les termes constants se regroupent.
On met trois en facteur : S = 3(n + 1).En développant 3(n + 1), on retrouve bien 3n + 3.
Comme n + 1 est un entier, S est un multiple de trois.Un multiple de trois est un nombre qui s'écrit comme le produit de trois par un entier.

Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider

Ce que votre enfant apprend: Écrire trois entiers consécutifs sous la forme n, n + 1 et n + 2, transformer leur somme en 3(n + 1) et conclure qu’elle est multiple de trois.
Au programme: 4e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
Combien de temps: Environ 20 minutes, en une fois ou en plusieurs.

Comment l'accompagner

Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.

Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers