Mathématiques · 4e · environ 15 min
Exprimer le double, la moitié ou le carré d’un nombre
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Pour un nombre n positif, imagine un segment de longueur n. Deux segments identiques mis bout à bout représentent 2n ; trois représentent 3n. En partageant le segment initial en deux parties égales, chaque partie mesure n/2. Un carré dont chaque côté mesure n a pour aire n × n, soit n² : le double et le carré ne représentent donc pas la même construction.
Cette représentation par des longueurs convient aux nombres positifs. Pour un nombre négatif, utilise les expressions et les règles de calcul plutôt qu’une longueur négative.
Classe les mots selon leur action. Double, triple et moitié demandent une multiplication ou une division : 2n, 3n et n/2. Prédécesseur et successeur demandent de retirer ou d’ajouter une unité : n − 1 et n + 1. Carré demande de multiplier le nombre par lui-même : n × n = n². Ainsi, « multiplier par deux » et « multiplier par soi-même » sont deux actions différentes.
Dans cette fiche, prédécesseur et successeur désignent n − 1 et n + 1. Cela ne signifie pas qu’il n’existe aucun nombre décimal entre n et n + 1.
Commence par écrire l’expression avec n, sans calculer. Remplace ensuite chaque n par la valeur donnée. Si cette valeur est négative, entoure-la de parenthèses, surtout pour un carré : n² devient par exemple (−5)², donc (−5) × (−5). Effectue enfin le calcul et vérifie que tu as bien utilisé l’action demandée.
Les parenthèses sont essentielles avec une valeur négative : (−5)² et −5² ne désignent pas le même calcul.
Les pièges
Confondre le double et le carré.
Regarde les facteurs que tu as écrits : pour le double, utilise 2 × n ; pour le carré, utilise n × n.
Écrire 2n − 1 pour le double du prédécesseur de n.
Écris d’abord le prédécesseur entre parenthèses, puis double l’ensemble : 2(n − 1).
Donner un signe négatif au carré d’un nombre négatif.
Écris le carré comme un produit de deux facteurs identiques, avec des parenthèses. Un facteur négatif multiplié par un facteur négatif donne un produit positif.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Le calcul littéral permet d’exprimer un calcul avec une lettre qui représente un nombre. On peut ainsi écrire une formule valable pour plusieurs nombres, puis calculer sa valeur pour un nombre donné.
Le cours
On note n le nombre choisi. Son double est le produit de n par 2 : il s’écrit 2 × n, ou plus simplement 2n. Son triple est le produit de n par 3 : il s’écrit 3 × n, ou 3n. Entre un nombre et une lettre, on peut donc ne pas écrire le signe de multiplication.
La moitié de n s’obtient en divisant n par 2. Elle s’écrit n ÷ 2, ou sous forme de fraction : n/2. Attention : 2n et n/2 ne désignent pas le même calcul.
Pour un nombre entier n, le prédécesseur est l’entier qui le précède : il s’écrit n − 1. Le successeur est l’entier qui le suit : il s’écrit n + 1. Ces écritures correspondent respectivement à retirer 1 et à ajouter 1.
Le carré de n est le produit de n par lui-même : il s’écrit n² = n × n. Il ne faut pas confondre le carré n² avec le double 2n : dans n², on multiplie n par n ; dans 2n, on multiplie n par 2.
Pour calculer une expression pour une valeur donnée, on remplace chaque occurrence de la lettre par cette valeur, puis on effectue les opérations. Si la valeur est négative, on l’entoure de parenthèses, notamment dans un produit ou une puissance. Le carré d’un nombre négatif est positif, car c’est le produit de deux nombres négatifs.
Des exemples
Calcule le double de 17.
Le double de n s’écrit n + n. On peut aussi multiplier le nombre par 2 : 17 × 2 = 34.
Calcule le triple de 23.
Le triple de n s’écrit n + n + n. On peut aussi multiplier le nombre par 3 : 23 × 3 = 69.
Calcule la moitié de 38.
Pour obtenir la moitié du nombre, on le divise par 2 : 38 ÷ 2 = 19.
Calcule le carré de -9.
Le carré de n s’écrit n × n. On remplace chaque n par (-9) : (-9) × (-9) = 81. Le résultat est positif.
À retenir
- Double de n : 2n. Triple de n : 3n.
- Moitié de n : n/2.
- Pour un entier n : prédécesseur n − 1 ; successeur n + 1.
- Carré de n : n² = n × n, à ne pas confondre avec 2n.
- Pour calculer, remplace la lettre par la valeur donnée ; entoure une valeur négative de parenthèses.
Les mots de la leçon
- Expression littérale
- Expression mathématique contenant une ou plusieurs lettres qui représentent des nombres.
- Prédécesseur
- Entier situé juste avant un entier donné.
- Successeur
- Entier situé juste après un entier donné.
- Carré d’un nombre
- Produit de ce nombre par lui-même.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeSi n représente un nombre, son double s’écrit 2n, son triple 3n et sa moitié n/2. Son prédécesseur s’écrit n − 1, son successeur n + 1 et son carré n². Pour calculer une de ces expressions, remplace n par la valeur donnée : dans le carré, tu multiplies cette valeur par elle-même.
Écris en fonction de n le double du prédécesseur de n.
- Le prédécesseur de n s’écrit n − 1.Le prédécesseur est le nombre obtenu en retirant une unité.
- Le double de ce prédécesseur s’écrit 2 × (n − 1).On multiplie toute l’expression n − 1 par deux. Les parenthèses gardent cette expression entière.
- La réponse est 2(n − 1), que l’on peut aussi écrire 2n − 2.Doubler une différence revient à doubler chacun de ses termes avant de soustraire.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Écrire, pour un nombre n, son double, son triple, sa moitié, son prédécesseur, son successeur et son carré, puis calculer ces expressions pour une valeur donnée.
- Au programme
- 4e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 15 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers