Distinguer inconnue, indéterminée, équation et identité

Le calcul littéral utilise des lettres pour écrire des expressions et des égalités. Distinguer une expression, une équation à résoudre et une identité permet de comprendre ce que représente la lettre et ce qu’on doit faire.

Le cours

1. Une expression littérale est une écriture qui contient des nombres, des lettres et des opérations, comme 5x + 3. Elle ne comporte pas de signe « = » : elle ne dit donc pas que deux quantités sont égales. On peut la transformer ou calculer sa valeur lorsqu’on connaît la valeur de la lettre.

2. Une indéterminée est une lettre qui représente un nombre quelconque, sans valeur particulière à chercher. Dans l’expression 5x + 3, x peut prendre différentes valeurs : la valeur de l’expression dépend alors de celle de x.

3. Une équation est une égalité dans laquelle une lettre joue le rôle d’une inconnue : on cherche les valeurs qui rendent l’égalité vraie. Par exemple, résoudre x + 4 = 10 consiste à chercher le nombre qui, augmenté de 4, donne 10. Une valeur qui rend l’égalité vraie est une solution. Pour la vérifier, on remplace l’inconnue par cette valeur dans les deux membres, c’est-à-dire les deux côtés du signe « = ».

4. Une identité est une égalité vraie pour toutes les valeurs autorisées de la lettre. Par exemple, 3(x + 2) = 3x + 6 est une identité : la distributivité garantit l’égalité quelle que soit la valeur de x. La lettre est ici une indéterminée ; on ne cherche pas une valeur particulière.

5. Pour classer une écriture, on regarde d’abord si elle comporte un signe « = », puis on lit la consigne. Sans signe « = », c’est une expression. Avec un signe « = », si l’on cherche les valeurs de la lettre qui rendent l’égalité vraie, on résout une équation ; si l’égalité est vraie pour toutes les valeurs autorisées, c’est une identité. Une même lettre, comme x, peut donc être une inconnue ou une indéterminée selon son rôle. Une identité peut aussi être présentée comme une équation à résoudre : toutes les valeurs autorisées sont alors solutions.

Des exemples

• Classe l’écriture 8x et précise le rôle de x. Calcule ensuite sa valeur lorsque x vaut 23.

  L’écriture 8x est une expression littérale : elle ne contient pas de signe « = ». La lettre x est une indéterminée. Pour la valeur donnée, on remplace x par 23 : 8 × 23 = 184. On évalue l’expression, on ne résout pas une équation.

• On cherche la valeur de x qui rend vraie l’égalité 7x + 13 = 2x + 48. Classe cette écriture et précise le rôle de x.

  C’est une équation à résoudre : x est l’inconnue à déterminer. En soustrayant 2x puis 13 aux deux membres, on obtient (7 − 2)x = 48 − 13. On divise ensuite par 7 − 2 : la solution est x = 7. Remplacer x par 7 dans l’égalité de départ donne la même valeur dans les deux membres.

• Classe l’égalité 17(x + 6) = 17x + 17 × 6 et précise le rôle de x.

  La distributivité donne 17(x + 6) = 17x + 17 × 6 pour toute valeur de x. Comme 17 × 6 = 102, on peut aussi écrire 17(x + 6) = 17x + 102. C’est une identité et x est une indéterminée. Vérifier quelques valeurs ne suffirait pas à prouver une identité : ici, c’est la distributivité qui la justifie.