Mathématiques · 4e · environ 25 min
Démontrer la règle d’addition de fractions de même dénominateur
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Ne pars pas de la règle que tu veux démontrer. Appelle S la somme a/b + c/b. Distribue b dans b × S, puis utilise les égalités b × (a/b) = a et b × (c/b) = c. Tu obtiens b × S = a + c : c’est exactement ce qui permet de reconnaître S comme le quotient (a + c)/b.
Cette démonstration fonctionne pour tous les nombres a et c, positifs, négatifs ou nuls, à condition que b soit non nul.
Dessine une bande unité partagée en b parts égales. Colorie a parts dans une couleur, puis c autres parts dans une autre couleur. Tu comptes a + c parts, mais chaque part garde la même taille : un b-ième de l’unité. Le dessin fait comprendre pourquoi le dénominateur reste b. Pour passer du dessin à une preuve générale, utilise ensuite le produit par b et la distributivité.
Ce dessin suppose que b est un entier strictement positif et que a et c sont des entiers positifs ou nuls. Si les parts dépassent une bande, ajoute des bandes identiques. Le dessin seul ne démontre pas le cas de tous les nombres.
Compare les propositions S = (a + c)/b et S = (a + c)/(b + b). Pour chacune, demande-toi : « En multipliant cette expression par b, est-ce que je retrouve forcément a + c ? » La première satisfait cette condition par définition du quotient. La seconde ne la satisfait pas en général : elle change aussi la taille des parts. Ce contrôle aide à repérer une formule fausse ; la démonstration complète reste celle qui utilise la distributivité.
Il faut que b soit non nul. Un cas particulier où deux expressions coïncident ne suffit pas à prouver une règle générale.
Les pièges
Additionner les dénominateurs en même temps que les numérateurs.
Tu as changé le dénominateur. Repars du produit par le dénominateur commun : distribue-le sur les deux fractions et regarde ce qu’il reste.
Utiliser directement la règle d’addition pour la démontrer.
Ton calcul utilise déjà la conclusion. Pour construire la preuve, pars seulement de la définition du quotient et de la distributivité.
Conclure sans préciser que le dénominateur est non nul.
Ajoute la condition b non nul dès le début. Elle permet d’utiliser la définition du quotient et de reconnaître le résultat à la fin.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Additionner des fractions de même dénominateur permet de calculer des sommes de nombres écrits sous forme fractionnaire. Le calcul littéral permet de démontrer la règle, c’est-à-dire d’expliquer pourquoi elle est vraie pour tous les nombres concernés.
Le cours
Pour additionner deux fractions de même dénominateur, on additionne leurs numérateurs et on conserve leur dénominateur commun. Pour tous nombres a, b et c, avec b ≠ 0 : a/b + c/b = (a + c)/b. Les parenthèses indiquent que toute la somme a + c est divisée par b.
Cette règle repose sur la définition du quotient : lorsque b est non nul, a/b est l’unique nombre qui, multiplié par b, donne a. Ainsi, b × (a/b) = a et b × (c/b) = c.
Pour démontrer la règle, multiplions la somme a/b + c/b par b. Grâce à la distributivité, on obtient : b × (a/b + c/b) = b × (a/b) + b × (c/b). En utilisant la définition du quotient pour chaque terme, cela donne : b × (a/b + c/b) = a + c.
La somme a/b + c/b est donc un nombre qui, multiplié par b, donne a + c. Comme b est non nul, ce nombre est, par définition du quotient, (a + c)/b. On a donc bien démontré que a/b + c/b = (a + c)/b.
Cette propriété reste vraie avec des numérateurs ou un dénominateur négatifs, tant que le dénominateur commun est non nul. On n’additionne jamais les dénominateurs dans cette règle. Après avoir calculé la somme des numérateurs, on simplifie la fraction obtenue si c’est possible.
Des exemples
Démontre comment calculer 5/13 + 6/13 en utilisant la définition du quotient et la distributivité.
Les dénominateurs sont égaux et non nuls. Par distributivité, 13 × (5/13 + 6/13) = 13 × (5/13) + 13 × (6/13) = 5 + 6. La somme est donc le quotient de 5 + 6 par 13 : 5/13 + 6/13 = (5 + 6)/13 = 11/13.
Calcule (-7)/9 + 19/9 et justifie la règle utilisée.
Le numérateur négatif ne change pas la démonstration : 9 × ((-7)/9 + 19/9) = -7 + 19. La somme est donc le quotient de -7 + 19 par 9. On conserve le dénominateur commun, on additionne les numérateurs, puis on simplifie : (-7)/9 + 19/9 = (-7 + 19)/9 = 4/3.
À retenir
- Le dénominateur commun doit être non nul.
- Par définition du quotient : b × (a/b) = a.
- La distributivité donne : b × (a/b + c/b) = a + c.
- Donc a/b + c/b = (a + c)/b.
- On additionne les numérateurs, pas les dénominateurs.
- On simplifie le résultat si c’est possible.
Les mots de la leçon
- Numérateur
- Nombre écrit au-dessus de la barre de fraction. Dans a/b, le numérateur est a.
- Dénominateur
- Nombre non nul écrit au-dessous de la barre de fraction. Dans a/b, le dénominateur est b.
- Quotient
- Le quotient de a par b, avec b non nul, est l’unique nombre qui, multiplié par b, donne a. Il se note a/b.
- Distributivité
- Propriété qui permet de multiplier une somme par un nombre en multipliant chaque terme de la somme par ce nombre : k × (u + v) = k × u + k × v.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardePour b non nul, multiplier a/b par b redonne a : c’est la définition du quotient. Grâce à la distributivité, b × (a/b + c/b) = b × (a/b) + b × (c/b) = a + c. La somme a/b + c/b est donc le quotient de a + c par b : elle vaut (a + c)/b.
On considère trois nombres a, b et c, avec b non nul. Démontre que a/b + c/b = (a + c)/b sans utiliser cette règle comme point de départ.
- On note S = a/b + c/b et on cherche ce que vaut b × S.Pour reconnaître un quotient par b, on peut chercher quel nombre on obtient en le multipliant par b.
- b × S = b × (a/b) + b × (c/b).La distributivité permet de multiplier chaque terme de la somme par b.
- b × S = a + c.Par définition du quotient, b × (a/b) = a et b × (c/b) = c, puisque b est non nul.
- S = (a + c)/b, donc a/b + c/b = (a + c)/b.Le quotient de a + c par b est l’unique nombre dont le produit par b vaut a + c.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Pour b non nul, utiliser b × (a/b) = a et la distributivité pour montrer que b × (a/b + c/b) = a + c, puis conclure que a/b + c/b = (a + c)/b par définition du quotient.
- Au programme
- 4e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 25 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers