Construire l’équation d’un problème

Mettre un problème en équation permet de traduire une situation par une égalité contenant une inconnue. On utilise cette égalité pour trouver une quantité que l’énoncé ne donne pas directement.

Le cours

1. Commence par repérer ce que l’on cherche et les informations utiles. Choisis une inconnue, souvent notée x, puis définis-la précisément : « On note x le prix d’un billet en euros », par exemple. Indique l’unité lorsqu’il y en a une.

2. Exprime les quantités utiles en fonction de x. Par exemple, une quantité supérieure de 7 à x s’écrit x + 7 ; une quantité égale au triple de x s’écrit 3x. Attention à l’ordre dans une différence : retirer 5 à x donne x − 5, tandis que retirer x à 5 donne 5 − x.

3. Repère ensuite la relation qui permet d’écrire une égalité : un total connu, des prix identiques, un périmètre donné… Traduis chaque côté de cette relation par une expression. L’égalité obtenue est l’équation du problème. L’inconnue peut apparaître dans un seul membre ou dans les deux.

4. Respecte le sens de la situation et utilise des unités compatibles. Les parenthèses sont nécessaires lorsqu’une opération porte sur une somme entière : le triple de la somme de x et de 4 s’écrit 3(x + 4), et non 3x + 4.

5. Une fois l’équation construite, sa résolution donne une valeur possible de l’inconnue. Vérifie cette valeur dans la situation de départ : elle doit respecter l’égalité et être possible dans le contexte, par exemple être entière s’il s’agit d’un nombre d’objets. Termine par une phrase qui répond à la question avec l’unité adaptée.

Des exemples

• Une location de vélo coûte 7 € par heure, auxquels s’ajoutent 9 € de frais fixes. La facture est de 86 €. Quelle est la durée de location ?

  On note x la durée de location en heures. Le coût des heures de location est 7x euros. Avec les frais fixes, le montant total est 7x + 9 euros. Comme la facture est de 86 €, l’équation du problème est 7x + 9 = 86. Sa résolution donne x = 11. On vérifie que 7 × 11 + 9 = 86. La durée de location est donc de 11 heures.

• Un atelier propose un tarif A avec 17 € d’inscription puis 6 € par séance, et un tarif B avec 56 € d’inscription puis 3 € par séance. Pour quel nombre de séances les montants à payer sont-ils égaux ?

  On note x le nombre de séances suivies. Le montant à payer avec le tarif A est 6x + 17 euros. Avec le tarif B, il est de 3x + 56 euros. On cherche quand ces montants sont égaux : l’équation est donc 6x + 17 = 3x + 56. Sa résolution donne x = 13. On vérifie que 6 × 13 + 17 = 3 × 13 + 56. Les tarifs reviennent donc au même prix pour 13 séances.