Simuler des répétitions indépendantes

Une simulation permet de reproduire une expérience aléatoire avec un tableur ou un programme pour observer de nombreux résultats. On l’utilise notamment pour étudier les fréquences obtenues quand on répète une expérience dans les mêmes conditions.

Le cours

1. Des expériences aléatoires sont indépendantes lorsque le résultat de l’une ne modifie pas les probabilités des autres. Par exemple, les lancers successifs d’un dé équilibré sont indépendants : même après plusieurs résultats identiques, chaque face conserve la même probabilité de sortir au lancer suivant. Pour des tirages dans un sac, remettre l’objet tiré et mélanger permet de retrouver les mêmes conditions à chaque répétition.

2. Pour construire une simulation, on choisit d’abord comment représenter les issues de l’expérience. Par exemple, pour simuler un succès de probabilité 3/10, on peut tirer au hasard un entier de 1 à 10 : les nombres 1, 2 et 3 représentent un succès, les autres un échec. Il faut effectuer un nouveau tirage aléatoire à chaque répétition, sans utiliser le résultat précédent pour décider du suivant.

3. Au tableur, on peut écrire =ALEA.ENTRE.BORNES(1;10) dans la cellule A2, puis recopier cette formule jusqu’à A601 pour obtenir 600 tirages. Dans B2, on écrit =SI(A2<=3;1;0), puis on recopie jusqu’à B601 : 1 indique un succès et 0 un échec. La formule =SOMME(B2:B601) donne le nombre de succès. Chaque cellule de la colonne A doit contenir sa propre formule de tirage, et non une référence à un unique tirage commun. Un recalcul du tableur peut renouveler toute la simulation.

4. Dans un programme, place l’instruction de tirage à l’intérieur de la boucle pour qu’elle soit exécutée à chaque répétition. En Python, cela donne par exemple : import random nombre_repetitions = 600 succes = 0 for repetition in range(nombre_repetitions): tirage = random.randint(1, 10) if tirage <= 3: succes = succes + 1 frequence = succes / nombre_repetitions Si le tirage était effectué avant la boucle et simplement réutilisé, le programme ne simulerait pas de nouvelles expériences indépendantes.

5. La fréquence d’un événement se calcule en divisant son nombre d’apparitions par le nombre total de répétitions. Elle peut varier d’une simulation à l’autre et n’est pas forcément égale à la probabilité. Avec un grand nombre de répétitions indépendantes, elle tend à se stabiliser autour de cette probabilité. Une série de succès ou d’échecs ne rend cependant pas le résultat contraire plus probable au prochain tirage : le hasard n’a pas à compenser les résultats précédents.

Des exemples

• Un programme simule des répétitions indépendantes d’une expérience. À chaque répétition, la probabilité de succès est 3/8. Après une série d’échecs, quelle est la probabilité de succès au prochain tirage ? Exprime-la en pourcentage en multipliant par 100.

  La série d’échecs ne change pas les conditions du prochain tirage. La probabilité de succès reste donc 3/8. Pour l’exprimer en pourcentage, on calcule 3/8 × 100 = 75/2. La probabilité du prochain succès est donc de 75/2 % : elle n’a pas augmenté pour compenser les échecs.

• Après une simulation utilisant un nouveau tirage à chaque répétition, la fréquence des succès est 83/250. Exprime cette fréquence en pourcentage en la multipliant par 100. Une nouvelle simulation doit-elle donner exactement la même fréquence ?

  On calcule 83/250 × 100 = 166/5 : la fréquence observée est donc de 166/5 %. Une nouvelle simulation peut donner une autre fréquence, car les résultats sont aléatoires. Cette variation ne signifie pas que la probabilité de succès a changé.