Résoudre et justifier un problème élémentaire de hasard

Les probabilités permettent d’évaluer les chances qu’un événement se produise lors d’un lancer, d’un tirage ou d’un jeu. Elles servent à comparer des possibilités et à justifier une décision, sans pouvoir prédire avec certitude le résultat d’une expérience.

Le cours

1. Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir avec certitude le résultat. Chaque résultat possible s’appelle une issue. Un événement regroupe les issues qui vérifient une condition : par exemple, « obtenir un nombre pair » lors du lancer d’un dé. Avant de calculer, il faut préciser l’expérience, les issues possibles et l’événement étudié.

2. Pour repérer les issues sans oubli ni répétition, on peut utiliser une liste, un tableau ou un arbre. Une liste convient à un petit nombre d’issues ; un tableau est pratique pour associer deux résultats ; un arbre permet de suivre des étapes successives. Attention à distinguer les objets tirés de leurs caractéristiques : des jetons de même couleur restent des objets distincts.

3. Lorsque toutes les issues ont la même chance de se produire, on parle d’équiprobabilité. La probabilité d’un événement est alors : P(événement) = nombre d’issues favorables ÷ nombre total d’issues. On peut l’écrire sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage. Cette formule de comptage ne s’applique pas directement si les issues n’ont pas toutes la même chance de se produire.

4. Une probabilité est comprise entre 0 et 1. Un événement impossible a une probabilité de 0 ; un événement certain a une probabilité de 1. La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1. L’événement contraire de A se produit exactement lorsque A ne se produit pas : P(contraire de A) = 1 − P(A). Pour réunir des événements qui ne peuvent pas se produire en même temps, on additionne leurs probabilités. Dans un arbre, on multiplie les probabilités rencontrées le long d’un chemin ; un tirage sans remise peut donc modifier les probabilités à l’étape suivante.

5. Pour justifier une décision, on calcule les probabilités utiles, on les compare puis on répond à la question dans son contexte. Si le but est seulement d’avoir le plus de chances de gagner, on choisit la probabilité de gain la plus élevée. Si les mises ou les récompenses diffèrent, cette seule comparaison ne suffit pas toujours. Enfin, une probabilité élevée ne garantit pas un succès au prochain essai, et les fréquences observées sur quelques essais peuvent s’écarter des probabilités.

Des exemples

• Une roue comporte 5 secteurs de même taille portant des lettres différentes. Une autre comporte 8 secteurs de même taille portant des couleurs différentes. On fait tourner les roues indépendamment. Combien de couples « lettre, couleur » sont possibles et comment les représenter ?

  On construit un tableau avec 5 lignes pour les lettres et 8 colonnes pour les couleurs. Chaque case correspond à une issue distincte. Le nombre total d’issues est 5 × 8 = 40. Les roues étant équilibrées et leurs résultats indépendants, tous ces couples ont la même probabilité : l’inverse de 40.

• Un sac contient 23 jetons indiscernables au toucher, dont 8 rouges ; tous les autres sont bleus. On tire au hasard un jeton. Quelle est la probabilité de tirer un jeton bleu ?

  Chaque jeton a la même chance d’être tiré. Tirer un jeton bleu est l’événement contraire de tirer un jeton rouge. La probabilité de tirer un jeton quelconque vaut 23/23, et celle de tirer un jeton rouge vaut 8/23. La probabilité cherchée est donc 23/23 − 8/23 = 15/23.

• Le jeu Azur propose 18 cases équiprobables, dont 7 gagnantes. Le jeu Cuivre propose 16 cases équiprobables, dont 5 gagnantes. Les mises et les récompenses sont identiques. Quel jeu choisir pour avoir le plus de chances de gagner ?

  La probabilité de gagner à Azur est 7/18 ; celle de gagner à Cuivre est 5/16. Leur comparaison donne : >. La probabilité de gagner à Azur est supérieure à celle de gagner à Cuivre. Il faut donc choisir Azur pour maximiser ses chances de gagner, sans que cela garantisse une victoire.