Mathématiques · 3e · environ 15 min
Relier la stabilisation des fréquences à une probabilité
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Sur un graphique, place le nombre de répétitions horizontalement et la fréquence verticalement. Trace une ligne horizontale à la hauteur de la probabilité connue. Observe les points : quand les séries s’allongent, ils tendent à rester dans une zone plus resserrée autour de cette ligne. Ils peuvent se trouver au-dessus ou au-dessous.
Le graphique illustre une tendance. Il ne garantit ni que chaque nouveau point sera plus proche de la ligne, ni qu’un point finira exactement dessus.
Lance une pièce, conserve tous les résultats, puis ajoute de nouveaux lancers. À plusieurs moments, note le nombre total de lancers et la fréquence de pile. Compare ensuite tes relevés avec ceux d’un camarade. Vos fréquences ne seront pas forcément identiques, même si vous utilisez le même modèle de pièce équilibrée.
Une expérience courte peut montrer des écarts importants. Pour étudier la stabilisation, il faut prolonger les séries sans choisir seulement les résultats qui arrangent.
Pose-toi deux questions : « Quelle probabilité le modèle donne-t-il ? » puis « Quelle fréquence la série a-t-elle produite ? » La probabilité décrit les chances de l’événement dans le modèle. La fréquence décrit les résultats effectivement obtenus. Une longue série aide à estimer une probabilité inconnue, mais une fréquence observée n’en donne pas automatiquement la valeur exacte.
Le rapprochement attendu suppose que l’expérience soit répétée dans les mêmes conditions. Si les règles ou le matériel changent, on ne mélange pas les résultats sans vérifier.
Les pièges
Affirmer qu’après beaucoup de répétitions, la fréquence est forcément égale à la probabilité.
Remplace « est forcément égale » par « tend à se stabiliser autour ». Un petit écart reste possible.
Croire que la fréquence doit se rapprocher de la probabilité à chaque nouveau relevé.
Observe l’ensemble des relevés plutôt qu’un seul changement. Une fluctuation ponctuelle ne suffit pas à contredire la tendance.
Prendre la fréquence d’une seule longue série pour une probabilité exacte.
Dis que la fréquence fournit une estimation lorsque la probabilité est inconnue. Ne présente pas cette estimation comme une certitude.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Quand on répète une expérience aléatoire, la fréquence d’un événement permet d’estimer sa probabilité. On utilise ce lien pour interpréter les résultats d’essais ou de simulations, notamment quand le nombre de répétitions augmente.
Le cours
La probabilité d’un événement décrit ses chances de se produire dans une expérience aléatoire. La fréquence se calcule à partir des résultats observés : fréquence = nombre de réalisations de l’événement ÷ nombre total de répétitions. Une fréquence peut s’écrire sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage.
Pour étudier le lien entre fréquence et probabilité, on répète la même expérience dans les mêmes conditions, avec des essais indépendants : le résultat d’un essai ne modifie pas les chances des essais suivants. On relève la fréquence de l’événement pour des nombres de répétitions de plus en plus grands.
Sur un petit nombre d’essais, la fréquence peut être assez éloignée de la probabilité. Lorsque le nombre de répétitions devient grand, elle tend à se stabiliser autour de cette probabilité : les écarts importants deviennent moins probables. Dans un tableau, on repère cette stabilisation en comparant les fréquences successives ; sur un graphique, les points tendent à se regrouper près de la droite horizontale représentant la probabilité.
La stabilisation ne signifie ni une égalité exacte ni un rapprochement à chaque nouvel essai. La fréquence peut rester différente de la probabilité, passer au-dessus ou au-dessous et s’en éloigner momentanément. Les résultats passés n’obligent pas les essais suivants à compenser un écart.
Si la probabilité est connue, on peut vérifier que les fréquences observées se stabilisent autour d’elle. Si elle est inconnue, une fréquence obtenue après un grand nombre d’essais peut servir à l’estimer, mais cette estimation n’est pas une valeur exacte garantie.
Des exemples
Une simulation reproduit des lancers indépendants d’une pièce équilibrée. La probabilité d’obtenir pile vaut 1/2. Après 80 lancers, on a obtenu pile 44 fois. Compare la fréquence observée à la probabilité.
La fréquence observée est 44/80. Sa comparaison avec la probabilité 1/2 donne : >. La fréquence est supérieure à la probabilité. Cet écart est possible : les résultats d’une série d’essais ne sont pas obligés de respecter exactement les proportions théoriques.
On poursuit la même simulation. Après 800 lancers au total, on a obtenu pile 388 fois. Compare la nouvelle fréquence à la probabilité 1/2.
La nouvelle fréquence est 388/800. La comparaison donne : <. Elle est maintenant inférieure à la probabilité 1/2, tout en étant plus proche de celle-ci que dans le relevé précédent. Une fréquence peut donc passer d’un côté à l’autre de la probabilité au cours des répétitions.
La simulation se poursuit jusqu’à 8000 lancers au total. On a alors obtenu pile 4024 fois. Compare cette fréquence à la probabilité 1/2, puis interprète l’ensemble des relevés.
La fréquence vaut 4024/8000. La comparaison donne : >. Elle est supérieure à la probabilité 1/2, mais l’écart est encore plus faible que dans les relevés précédents. Ces relevés illustrent une stabilisation autour de la probabilité, sans égalité exacte. Cela ne garantit pas que la fréquence sera encore plus proche au prochain relevé.
À retenir
- Fréquence = nombre de réalisations de l’événement ÷ nombre total de répétitions.
- La probabilité décrit les chances ; la fréquence décrit les résultats observés.
- Sur un petit nombre d’essais, un écart important est possible.
- Quand les répétitions deviennent nombreuses, la fréquence tend à se stabiliser autour de la probabilité.
- La fréquence n’est pas forcément égale à la probabilité et ne s’en rapproche pas à chaque essai.
- Une fréquence stabilisée permet d’estimer une probabilité inconnue, sans certitude exacte.
Les mots de la leçon
- Événement
- Résultat ou ensemble de résultats d’une expérience aléatoire auquel on s’intéresse, par exemple obtenir pile lors du lancer d’une pièce.
- Fréquence
- Quotient du nombre de réalisations d’un événement par le nombre total de répétitions de l’expérience.
- Probabilité
- Nombre compris entre zéro et un qui mesure les chances qu’un événement se produise.
- Stabilisation des fréquences
- Phénomène par lequel les fréquences tendent à rester proches de la probabilité lorsque le nombre de répétitions devient grand, sans lui être nécessairement égales.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardePour une pièce équilibrée, la probabilité d’obtenir pile est une chance sur deux. Après quelques lancers, la fréquence de pile peut être assez éloignée de cette probabilité ; sur des séries de plus en plus longues, elle tend à se stabiliser autour d’elle, sans forcément lui être exactement égale.
Un simulateur lance une pièce équilibrée. La fréquence de pile est de 0,70 après 10 lancers, de 0,54 après 100 lancers et de 0,503 après 1 000 lancers. Que montrent ces résultats ?
- Repère la valeur autour de laquelle les fréquences peuvent se stabiliser : la probabilité d’obtenir pile avec cette pièce équilibrée.Cette probabilité vient du modèle de la pièce équilibrée. Elle n’est pas calculée à partir d’une seule série de lancers.
- Compare les fréquences dans l’ordre où le nombre de lancers augmente.Dans ces résultats, les fréquences se rapprochent de la probabilité lorsque la série s’allonge.
- Conclus que ces résultats illustrent une stabilisation autour de la probabilité, et non une égalité obligatoire.Une nouvelle série pourrait donner d’autres fréquences. Même avec beaucoup de répétitions, un écart reste possible.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- À partir de résultats obtenus pour des nombres croissants de répétitions, repérer la stabilisation des fréquences autour de la probabilité, sans supposer une égalité exacte.
- Au programme
- 3e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 15 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers