Paramétrer et exploiter une simulation

Une simulation permet de reproduire une expérience aléatoire à l’aide d’un ordinateur, d’une calculatrice ou d’une construction géométrique. On l’utilise pour étudier une situation, observer les résultats de nombreux essais et estimer la probabilité d’un événement.

Le cours

1. Pour construire une simulation, on commence par décrire l’expérience : quelles sont les issues possibles, quelles sont leurs probabilités et quel événement veut-on observer ? On choisit ensuite une règle qui associe chaque résultat simulé à une issue de l’expérience.

2. Dans une simulation numérique, on peut tirer au hasard des entiers dans un intervalle. Si ces entiers sont équiprobables, la proportion de codes associés à chaque issue doit respecter sa probabilité. Dans une simulation géométrique, on peut tirer un point uniformément au hasard dans une figure : la probabilité qu’il appartienne à une zone est alors le rapport entre l’aire de cette zone et l’aire totale.

3. Paramétrer la simulation consiste à fixer les valeurs nécessaires : bornes du tirage, correspondance entre les codes et les issues, nombre d’essais et événement à compter. Il faut aussi respecter les conditions de l’expérience. Par exemple, pour des tirages avec remise, la composition de départ reste la même à chaque tirage ; sans remise, elle doit être modifiée. Lorsque les essais sont indépendants, le résultat d’un essai ne doit pas influencer les suivants.

4. Pour justifier la simulation, on explique pourquoi les issues simulées ont les mêmes probabilités que dans l’expérience et pourquoi les règles de répétition sont respectées. On réalise ensuite les essais et on compte les succès, c’est-à-dire les réalisations de l’événement étudié. Sa fréquence se calcule ainsi : fréquence = nombre de succès ÷ nombre total d’essais. Pour l’exprimer en pourcentage, on multiplie cette fréquence par cent.

5. Les fréquences peuvent varier d’une série d’essais à l’autre. Lorsque le nombre d’essais devient grand, elles tendent à se stabiliser autour de la probabilité de l’événement. Une fréquence permet donc d’estimer une probabilité, mais elle ne la prouve pas et ne lui est pas nécessairement égale. Augmenter le nombre d’essais n’assure pas non plus que chaque nouvelle estimation sera meilleure que la précédente.

Des exemples

• Un jeu donne une chance de gagner de 43 %. Pour le simuler, on tire au hasard parmi 100 codes équiprobables. Combien de codes faut-il associer à un gain ?

  On calcule 43 % de 100, ce qui donne 43. On associe donc 43 codes au gain et tous les autres à la perte. Comme chaque code a la même probabilité d’être tiré, la proportion de codes gagnants respecte la probabilité de gagner. Pour simuler des parties indépendantes, on conserve cette répartition et on effectue un nouveau tirage indépendant à chaque partie.

• Après une série d’essais simulés, le rapport entre le nombre de succès et le nombre total d’essais est 347/1000. Exprime cette fréquence en pourcentage en la multipliant par 100, puis explique ce qu’elle permet d’estimer.

  La fréquence des succès est 347/1000. Sa valeur en pourcentage est donc 347/1000 × 100 = 347/10, soit 347/10 %. Si la simulation représente correctement l’expérience, cette fréquence fournit une estimation de la probabilité du succès. Elle ne donne pas une valeur certaine : une autre série d’essais peut produire une fréquence différente.