Évaluer un modèle à partir d’observations

Un modèle décrit une situation à l’aide d’hypothèses, par exemple les probabilités des résultats d’un jeu. Pour savoir s’il convient, on confronte ses prévisions à des observations ou à des simulations, puis on justifie sa conclusion.

Le cours

1. On commence par préciser les hypothèses du modèle : quels résultats sont possibles, quelles sont leurs probabilités et dans quelles conditions les expériences sont répétées. Par exemple, un modèle de pièce équilibrée attribue la même probabilité à pile et à face et suppose que les lancers sont indépendants : le résultat d’un lancer ne change pas les probabilités du suivant.

2. On relève ensuite les résultats observés et l’effectif total. Pour chaque résultat étudié, on calcule sa fréquence : fréquence = nombre d’apparitions ÷ nombre total d’essais. On compare cette fréquence à la probabilité prévue par le modèle, en tenant compte du nombre d’essais.

3. Dans une expérience aléatoire, les fréquences varient d’une série à l’autre : c’est la fluctuation. Une différence entre fréquence et probabilité ne suffit donc pas à invalider un modèle. Quand le nombre d’essais augmente, les fréquences ont tendance à se rapprocher des probabilités, sans que ce rapprochement soit régulier ni garanti à chaque nouvelle série.

4. Pour apprécier un écart, on peut simuler de nombreuses séries respectant le modèle, avec le même nombre d’essais que les observations. On regarde alors si des écarts au moins aussi importants apparaissent souvent ou rarement. Un écart fréquent dans les simulations est compatible avec une simple fluctuation ; un écart très rare conduit à mettre en doute le modèle. Si l’énoncé fournit un critère de décision, on l’applique : il n’existe pas de seuil universel fondé seulement sur l’écart entre fréquence et probabilité.

5. La conclusion doit citer les observations et expliquer ce qu’elles permettent d’affirmer. Des résultats compatibles avec le modèle ne prouvent pas qu’il est vrai. Un écart très inhabituel constitue un argument pour le rejeter, mais pas une impossibilité logique. En revanche, l’observation d’un résultat que le modèle déclare impossible contredit directement ce modèle. Avant de conclure, on vérifie aussi les relevés et les conditions de l’expérience.

Des exemples

• On modélise une pièce équilibrée en attribuant à pile la probabilité 1/2. On observe 137 résultats pile en 250 lancers. Compare la fréquence observée à la probabilité prévue. Cette comparaison suffit-elle à rejeter le modèle ?

  La fréquence observée est 137/250 et la probabilité prévue est 1/2. Leur comparaison donne : >. La fréquence de pile dépasse donc la probabilité prévue, mais une pièce équilibrée ne donne pas nécessairement autant de piles que de faces dans chaque série. Cette comparaison seule ne suffit pas à rejeter le modèle : il faudrait apprécier l’écart à l’aide de simulations ou d’un critère fourni.

• Un dispositif est censé produire un signal rouge avec la probabilité 1/2, indépendamment à chaque essai. On observe 169 signaux rouges en 180 essais. Compare les valeurs et explique comment utiliser des simulations pour évaluer le modèle.

  On compare la fréquence 169/180 à la probabilité 1/2 : >. La fréquence observée est ici très éloignée de la probabilité prévue, ce qui constitue un signal d’alerte. On simule de nombreuses séries de 180 essais respectant le modèle, puis on compte celles qui donnent un écart au moins aussi important. Si de tels écarts sont très rares, cela fournit un argument pour rejeter le modèle selon le critère retenu. Le résultat observé reste toutefois possible dans ce modèle : très improbable ne signifie pas impossible.

• Un modèle de tirage affirme que le sac ne contient aucune bille verte : la probabilité d’obtenir une bille verte vaut 0/1. Pourtant, on relève 7 tirages verts sur 160 tirages. Que peut-on conclure si les relevés sont exacts ?

  La fréquence observée est 7/160. La comparaison avec la probabilité annoncée donne : >. La taille de l’écart pose problème. Des billes vertes ont aussi été observées alors que le modèle les déclare impossibles. Si les relevés sont exacts et concernent bien le sac étudié, le modèle est incompatible avec les observations. Une simple fluctuation ne peut pas expliquer l’apparition d’un résultat impossible selon le modèle.