Déterminer les quartiles et la médiane à partir d’un tableau d’effectifs

La médiane et les quartiles permettent de situer les valeurs d’une série statistique et de décrire leur répartition. À partir d’un tableau d’effectifs, on les détermine en repérant des rangs dans la série rangée par ordre croissant.

Le cours

1. Dans un tableau d’effectifs, chaque valeur apparaît autant de fois que son effectif l’indique. Commence par ranger les valeurs par ordre croissant, puis additionne leurs effectifs pour obtenir l’effectif total, noté N. Il n’est pas nécessaire d’écrire toute la série.

2. Calcule ensuite les effectifs cumulés croissants : pour chaque valeur, additionne son effectif et tous les effectifs des valeurs précédentes. Un effectif cumulé égal à 12 signifie que les 12 premières données ont été comptées. Pour trouver la valeur située à un rang donné, repère le premier effectif cumulé supérieur ou égal à ce rang.

3. Le premier quartile, noté Q₁, est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 25 % des données lui soient inférieures ou égales. Calcule N ÷ 4 : si le résultat est entier, c’est le rang à chercher ; sinon, prends l’entier immédiatement supérieur. Le troisième quartile, noté Q₃, se détermine de la même façon avec le rang 3 × N ÷ 4, arrondi à l’entier supérieur si nécessaire. Au moins 75 % des données sont inférieures ou égales à Q₃.

4. La médiane partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif. Si N est impair, elle est la valeur de rang (N + 1) ÷ 2. Si N est pair, repère les valeurs de rang N ÷ 2 et N ÷ 2 + 1, puis calcule leur moyenne : additionne ces deux valeurs et divise la somme par 2. Si elles sont identiques, la médiane est cette valeur.

5. Attention à distinguer le rang et la valeur : un rang indique une position, tandis que la réponse se lit dans la ligne des valeurs. Les quartiles sont toujours des valeurs présentes dans la série. La médiane peut ne pas apparaître dans le tableau lorsque l’effectif total est pair.

Des exemples

• Détermine les quartiles de la série suivante. | Valeur | 8 | 24 | |---|---|---| | Effectif | 24 | 8 |

  L’effectif total est 8 + 24 = 32. Les effectifs cumulés sont 24, puis 32. Le rang du premier quartile est le quart de 32 : il est atteint dans la colonne de la valeur 8. Le rang du troisième quartile est les trois quarts de 32 : il correspond exactement à l’effectif cumulé 24, donc il est encore dans cette même colonne. Ainsi, Q₁ = 8 et Q₃ = 8. Même lorsqu’un rang est exactement égal à un effectif cumulé, on ne passe pas à la colonne suivante.

• Détermine la médiane et les quartiles de cette série. | Valeur | 7 | 12 | |---|---|---| | Effectif | 7 | 12 |

  L’effectif total est 7 + 12 = 19. Les effectifs cumulés sont 7, puis 19. L’effectif total est impair : le rang central dépasse 7, donc la médiane est 12. Pour le premier quartile, on prend le quart de 19, puis l’entier immédiatement supérieur : ce rang est atteint dans la colonne de 7, donc Q₁ = 7. Pour le troisième quartile, on prend les trois quarts de 19, puis l’entier immédiatement supérieur : ce rang dépasse 7, donc Q₃ = 12.

• Détermine la médiane de cette série dont les valeurs ont le même effectif. | Valeur | 12 | 18 | |---|---|---| | Effectif | 12 | 12 |

  L’effectif total est pair. La première moitié de la série contient uniquement la valeur 12, et la seconde moitié uniquement la valeur 18. Les valeurs centrales sont donc 12 et 18. Leur somme est 12 + 18 = 30. La médiane est leur moyenne, c’est-à-dire la moitié de 30. Il ne faut pas choisir seulement l’une des valeurs centrales.