Compléter et contrôler un tableau d’effectifs et de fréquences

Un tableau d’effectifs et de fréquences permet de présenter la répartition d’une population en plusieurs catégories. Le compléter et le contrôler sert à retrouver des données manquantes et à vérifier que les informations sont cohérentes.

Le cours

1. L’effectif d’une catégorie est le nombre d’individus ou d’objets qui lui appartiennent. L’effectif total, souvent noté N, est la somme des effectifs de toutes les catégories. Pour que cette somme représente bien toute la population étudiée, chaque individu doit être compté dans une seule catégorie et aucune catégorie ne doit être oubliée.

2. La fréquence d’une catégorie est la part de l’effectif total qu’elle représente : fréquence = effectif de la catégorie ÷ effectif total. L’effectif total doit être non nul. Une fréquence peut s’écrire sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage. Pour obtenir le pourcentage, on multiplie la fréquence par 100 : une fréquence de 0,32 correspond à 32 %.

3. Pour retrouver un effectif manquant, on soustrait de l’effectif total la somme des effectifs connus. Si l’on connaît plutôt sa fréquence, on utilise : effectif = fréquence × effectif total. Avec un pourcentage, cela devient : effectif = pourcentage × effectif total ÷ 100. Si un effectif et sa fréquence non nulle sont connus, on peut retrouver l’effectif total : effectif total = effectif ÷ fréquence.

4. La somme des fréquences de toutes les catégories est égale à 1, soit 100 %. Une fréquence manquante se calcule donc en soustrayant de 1 la somme des fréquences connues, ou de 100 % la somme des pourcentages connus. Il faut toujours faire les calculs avec des écritures compatibles : ne pas additionner directement une fréquence décimale et un pourcentage.

5. Pour contrôler le tableau, vérifie que la somme des effectifs correspond au total annoncé et que chaque fréquence correspond bien au quotient de son effectif par ce total. Les effectifs sont des entiers positifs ou nuls ; les fréquences sont comprises entre 0 et 1, donc entre 0 % et 100 %. Si les fréquences sont arrondies, leur somme peut être légèrement différente de 1 ou de 100 % : conserve les valeurs exactes pendant les calculs et arrondis seulement à la fin.

Des exemples

• Un tableau répartit des livres par genre. L’effectif total est de 83 livres et la somme des effectifs des genres déjà renseignés est de 57 livres. Un seul genre reste à compléter. Quel est son effectif ?

  On retire du total la somme des effectifs connus : 83 − 57 = 26. Le genre restant compte donc 26 livres. En ajoutant cet effectif à 57, on doit retrouver 83.

• Dans un tableau, le rapport entre l’effectif d’une catégorie et l’effectif total est 21/84. Pour exprimer cette fréquence en pourcentage, on multiplie ce rapport par 100. Quel pourcentage obtient-on ?

  La fréquence est le rapport 21/84. Sa valeur en pourcentage se calcule ainsi : 21/84 × 100 = 25. Cette catégorie représente donc 25 % de l’effectif total.

• Un tableau porte sur 75 réponses à un questionnaire. La catégorie « à vélo » représente 28 % des réponses. Quel effectif faut-il inscrire pour cette catégorie ?

  On calcule 28 % de l’effectif total : 75 × 28 ÷ cent = 21. Il faut donc inscrire 21 réponses dans la catégorie « à vélo ».

• Les catégories d’un tableau couvrent toute la population sans compter plusieurs fois un même individu. Une catégorie a pour fréquence 0,46 et la somme des fréquences des autres catégories vaut 0,54. Quelle est la somme de toutes les fréquences ? Est-elle cohérente ?

  On additionne les fréquences : 0,46 + 0,54 = 1. Le résultat est égal à l’unité : le total des fréquences est donc cohérent. Il faut encore vérifier que chaque fréquence correspond à l’effectif de sa catégorie divisé par l’effectif total.