Compléter des effectifs cumulés croissants

Les effectifs cumulés croissants permettent de savoir combien de valeurs sont inférieures ou égales à un seuil. On les utilise pour lire une série statistique et répondre à des questions comme : « Combien d’élèves ont obtenu au plus cette note ? »

Le cours

1. L’effectif d’une valeur est le nombre de fois où cette valeur apparaît dans la série. Avant de calculer les effectifs cumulés croissants, on range les valeurs dans l’ordre croissant, de la plus petite à la plus grande, en conservant chaque effectif avec sa valeur.

2. L’effectif cumulé croissant d’une valeur est la somme des effectifs de toutes les valeurs inférieures ou égales à cette valeur. Le premier effectif cumulé est donc égal au premier effectif du tableau.

3. Pour compléter la suite du tableau, on ajoute à chaque étape l’effectif de la valeur actuelle à l’effectif cumulé précédent : nouvel effectif cumulé = effectif cumulé précédent + effectif actuel. On continue ainsi jusqu’à la dernière valeur.

4. Par exemple, un tableau donne les notes 14, 8 et 11, avec les effectifs respectifs 6, 9 et 4. Après rangement, les notes sont 8, 11 et 14, avec les effectifs 9, 4 et 6. Les effectifs cumulés croissants sont donc 9, puis 9 + 4 = 13, puis 13 + 6 = 19. Ainsi, 13 élèves ont une note inférieure ou égale à 11 ; cela ne signifie pas que 13 élèves ont exactement 11.

5. Pour vérifier le tableau, les effectifs cumulés ne doivent jamais diminuer et le dernier doit être égal à l’effectif total. Pour un seuil situé entre deux valeurs du tableau, on lit l’effectif cumulé de la plus grande valeur qui ne dépasse pas ce seuil.

Des exemples

• Dans un tableau de notes rangées dans l’ordre croissant, l’effectif cumulé à la note précédente est 17. L’effectif de la note actuelle est 26. Complète l’effectif cumulé à la note actuelle.

  Les 17 élèves déjà comptés ont une note plus petite que la note actuelle. On ajoute les 26 élèves qui ont exactement cette note : 17 + 26 = 43. Il y a donc 43 élèves dont la note est inférieure ou égale à la note actuelle.

• On étudie des temps de trajet. Il y a 38 trajets dont la durée est strictement inférieure au seuil choisi et 15 trajets dont la durée est exactement égale à ce seuil. Combien de trajets ont une durée inférieure ou égale au seuil ?

  L’expression « inférieure ou égale » inclut aussi les trajets dont la durée est exactement égale au seuil. On additionne donc les effectifs : 38 + 15 = 53. L’effectif cumulé croissant au seuil choisi est 53.

• Dans un tableau de tailles rangées dans l’ordre croissant, l’avant-dernier effectif cumulé est 64. L’effectif correspondant à la plus grande taille est 27. Quel est le dernier effectif cumulé ?

  On ajoute l’effectif de la plus grande taille à l’effectif cumulé précédent : 64 + 27 = 91. Toutes les tailles sont alors prises en compte. Le dernier effectif cumulé, 91, est donc aussi l’effectif total.