Mathématiques · 3e · environ 15 min
Calculer les probabilités d’évènements certains, impossibles et contraires
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Imagine une barre représentant tous les résultats possibles : sa valeur totale est 1. Colorie la partie correspondant à A. Toute la partie restante représente non A. Pour trouver sa probabilité, retire la partie colorée à la barre entière. Un évènement certain remplit toute la barre ; un évènement impossible n’en remplit aucune partie.
Les longueurs doivent représenter les probabilités, pas simplement le nombre de résultats lorsque ceux-ci n’ont pas tous la même chance.
Écris chaque résultat possible d’un dé sur un petit papier. Place dans une première zone ceux qui vérifient A : « obtenir un nombre strictement supérieur à quatre ». Place tous les autres dans une seconde zone. Cette seconde zone représente non A : « obtenir un nombre inférieur ou égal à quatre ». Aucun papier ne doit être oublié ni placé dans les deux zones.
Compter les papiers permet de calculer une probabilité seulement si les résultats inscrits ont tous la même chance de se produire.
Commence par lire les conditions de l’expérience. Si l’évènement se produit dans tous les cas, attribue-lui 1. S’il ne peut jamais se produire, attribue-lui 0. Sinon, si tu connais la probabilité de son contraire, utilise P(non A) = 1 − P(A). Avec un pourcentage, complète jusqu’à cent pour cent ; avec une fraction, écris l’unité avec le même dénominateur avant de soustraire.
La formule du complément concerne un évènement et son contraire exact, pas deux évènements simplement différents.
Les pièges
Inverser les probabilités d’un évènement certain et d’un évènement impossible.
Demande-toi si l’évènement peut manquer. S’il se produit toujours, sa probabilité vaut 1 ; s’il ne peut pas se produire, elle vaut 0.
Choisir comme contraire un évènement qui ne couvre pas tous les autres cas.
Formule d’abord « ne pas A », puis vérifie qu’aucun résultat n’est oublié et qu’aucun ne peut appartenir aux deux évènements.
Soustraire les dénominateurs dans le calcul du complément.
Écris l’unité avec le même dénominateur que la probabilité connue. Soustrais ensuite les numérateurs sans changer le dénominateur.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Les probabilités permettent de mesurer les chances qu’un évènement se produise lors d’une expérience aléatoire. Reconnaître un évènement certain, impossible ou contraire permet de trouver certaines probabilités directement, sans énumérer toutes les issues.
Le cours
Une issue est un résultat possible d’une expérience aléatoire. Un évènement est constitué d’une ou de plusieurs issues. Sa probabilité est un nombre compris entre 0 et 1 : plus elle est proche de 1, plus l’évènement a de chances de se produire.
Un évènement certain se produit dans tous les cas : sa probabilité est égale à 1. Un évènement impossible ne peut pas se produire : sa probabilité est égale à 0. Par exemple, lorsqu’on tire une bille dans un sac contenant uniquement des billes vertes, obtenir une bille verte est certain et obtenir une bille rouge est impossible.
L’évènement contraire d’un évènement A se réalise exactement lorsque A ne se réalise pas. Il est noté « non A » ou A avec une barre au-dessus. A et son contraire ne peuvent pas se produire en même temps, et l’un des deux se produit nécessairement.
Les probabilités d’un évènement et de son contraire ont donc pour somme 1 : P(A) + P(non A) = 1. Pour calculer la probabilité du contraire, on utilise P(non A) = 1 − P(A). Cette relation reste vraie si A est certain ou impossible.
Pour reconnaître un contraire, il faut nier exactement la condition donnée. Par exemple, le contraire de « obtenir au moins une bille rouge » est « n’obtenir aucune bille rouge », et non « obtenir uniquement des billes bleues » si d’autres couleurs sont possibles.
Des exemples
On tire une bille dans un sac contenant uniquement des billes vertes. La probabilité d’obtenir une bille rouge est 0. En utilisant le fait que la somme des probabilités d’un évènement et de son contraire vaut 1, calcule la probabilité de ne pas obtenir une bille rouge.
Obtenir une bille rouge est impossible. Son contraire, ne pas obtenir une bille rouge, est donc certain. Sa probabilité vaut 1 − 0 = 1.
Une roue ne comporte que des secteurs orange. La probabilité que la flèche s’arrête sur un secteur orange est 1. En utilisant le fait que la somme des probabilités d’un évènement et de son contraire vaut 1, calcule la probabilité que la flèche ne s’arrête pas sur un secteur orange.
S’arrêter sur un secteur orange est certain. Son contraire est donc impossible. Sa probabilité vaut 1 − 1 = 0.
Dans un jeu, la probabilité de gagner est 0,37. Calcule la probabilité de ne pas gagner, sachant que les probabilités de ces évènements contraires ont pour somme 1.
On note A l’évènement « gagner ». Son contraire est « ne pas gagner », ce qui comprend aussi une éventuelle égalité. On calcule P(non A) = 1 − 0,37 = 63/100.
À retenir
- Une probabilité est comprise entre 0 et 1.
- Évènement certain : probabilité égale à 1.
- Évènement impossible : probabilité égale à 0.
- Le contraire de A se produit exactement lorsque A ne se produit pas.
- P(non A) = 1 − P(A).
- Deux évènements contraires ne peuvent pas se produire ensemble, mais l’un des deux se produit nécessairement.
Les mots de la leçon
- Issue
- Résultat possible d’une expérience aléatoire.
- Évènement
- Ensemble d’issues d’une expérience aléatoire.
- Évènement certain
- Évènement qui se produit dans tous les cas.
- Évènement impossible
- Évènement qui ne peut pas se produire.
- Évènement contraire
- Évènement qui se réalise exactement lorsque l’évènement considéré ne se réalise pas.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeSur un dé classique, obtenir un nombre inférieur à sept est certain : sa probabilité vaut 1. Obtenir huit est impossible : sa probabilité vaut 0. « Ne pas obtenir six » est le contraire d’« obtenir six » : leurs probabilités se complètent pour atteindre 1.
La probabilité qu’un bus arrive en retard est de 0,37. Quelle est la probabilité qu’il ne soit pas en retard ?
- On appelle A l’évènement « le bus arrive en retard ».Nommer l’évènement permet de repérer précisément son contraire.
- Son contraire est « le bus n’arrive pas en retard ».Le bus est soit en retard, soit sans retard : ces deux possibilités couvrent tous les cas et ne peuvent pas se produire ensemble.
- On écrit P(non A) = 1 − P(A), puis P(non A) = 1 − 0,37.La probabilité cherchée est ce qui manque à celle du retard pour atteindre la probabilité totale.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Attribuer 1 à un évènement certain et 0 à un évènement impossible, puis calculer la probabilité d’un évènement contraire avec la relation P(non A) = 1 − P(A).
- Au programme
- 3e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 15 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers