Mathématiques · 3e · environ 15 min
Calculer la probabilité que l’un au moins de deux évènements se réalise
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Dessine un rectangle pour représenter toutes les issues, puis deux disques qui se chevauchent : A et B. Colorie tout A, puis tout B. La zone commune reçoit les deux couleurs : elle a été comptée deux fois. Pour compter toute la surface coloriée une seule fois, utilise P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Le dessin montre quelles zones réunir, mais leurs tailles ne donnent pas les probabilités si le dessin n’est pas à l’échelle.
Prépare des cartes portant un cercle, une étoile, les deux symboles ou aucun. Fais une liste des cartes avec un cercle, puis une liste des cartes avec une étoile. En réunissant les listes, barre seulement la seconde apparition de chaque carte présente dans les deux listes. Chaque carte qui convient reste alors présente une seule fois.
Pour obtenir une probabilité en divisant un effectif favorable par l’effectif total, les cartes doivent toutes avoir la même chance d’être tirées.
Pour réaliser A ou B, tu peux soit réaliser A, soit réaliser B sans réaliser A. Ces deux cas ne peuvent pas arriver ensemble. La partie « B sans A » a pour probabilité P(B) − P(A ∩ B). En ajoutant P(A), tu retrouves P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Ne confonds pas « B sans A » avec B tout entier : la partie commune doit être retirée de B.
Les pièges
Additionner les probabilités sans tenir compte de l’intersection.
Ta somme rassemble bien les deux évènements. Regarde maintenant ce qui appartient aux deux : retire cette partie une fois.
Comprendre « au moins un » comme « un seul, mais pas les deux ».
Si les deux évènements se réalisent, il y en a bien au moins un qui se réalise. Garde donc la partie commune dans ta réponse.
Multiplier les probabilités pour calculer une réunion.
Ici, tu cherches A ou B. Pars de leur somme, puis enlève la probabilité de leur intersection une fois. Aucune hypothèse d’indépendance n’est nécessaire.
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2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Calculer la probabilité que l’un au moins de deux événements se réalise permet de répondre à une question contenant « A ou B ». On l’utilise notamment lorsque les événements peuvent se produire en même temps : il faut alors éviter de compter deux fois les mêmes issues.
Le cours
Un événement est un ensemble d’issues d’une expérience aléatoire. La réunion des événements A et B, notée A ∪ B, correspond à « A ou B » : A se réalise, B se réalise, ou les deux se réalisent. Ici, le mot « ou » n’exclut donc pas que les deux événements se réalisent ensemble.
L’intersection des événements A et B, notée A ∩ B, correspond à « A et B » : les deux événements se réalisent en même temps.
Pour calculer la probabilité de la réunion, on utilise la relation P(A ∪ B) + P(A ∩ B) = P(A) + P(B). On en déduit la formule : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). En additionnant P(A) et P(B), on compte deux fois les issues communes ; on soustrait donc leur probabilité une fois.
Si A et B sont incompatibles, ils ne peuvent pas se réaliser ensemble. Alors P(A ∩ B) = 0 et la formule devient P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Il ne faut pas utiliser cette formule simplifiée sans avoir vérifié que les événements sont incompatibles.
Avant de calculer, on repère les probabilités de A, de B et de leur intersection, puis on les écrit sous une même forme : fractions, nombres décimaux ou pourcentages. Le résultat doit être compris entre 0 et 1, et être au moins égal à chacune des probabilités P(A) et P(B).
Des exemples
On choisit au hasard un élève d’un collège. A est l’événement « l’élève pratique la natation » et B l’événement « l’élève pratique le basket ». On sait que P(A) + P(B) = 0,91 et que P(A ∩ B) = 0,24. Quelle est la probabilité que l’élève pratique au moins l’un de ces sports ?
On cherche P(A ∪ B). La somme des probabilités est déjà donnée : 0,91. Elle compte deux fois les élèves qui pratiquent les sports concernés ensemble. On soustrait donc la probabilité de l’intersection : P(A ∪ B) = 0,91 − 0,24 = 67/100.
On tire au hasard un jeton dans un sac. Chaque jeton porte une seule couleur. La probabilité de tirer un jeton rouge est 0,28 et celle de tirer un jeton bleu est 0,37. Quelle est la probabilité de tirer un jeton rouge ou bleu ?
Un jeton ne peut pas être à la fois rouge et bleu : les événements sont incompatibles. La probabilité de leur intersection est donc nulle. On additionne les probabilités : P(A ∪ B) = 0,28 + 0,37 = 13/20, en notant A l’événement « tirer un jeton rouge » et B l’événement « tirer un jeton bleu ».
À retenir
- « Au moins l’un des événements » signifie « A ou B, éventuellement les deux ».
- La réunion A ∪ B correspond à « A ou B » ; l’intersection A ∩ B correspond à « A et B ».
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
- On soustrait l’intersection pour ne pas compter deux fois les issues communes.
- Si les événements sont incompatibles, P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
- Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.
Les mots de la leçon
- Événement
- Ensemble d’issues d’une expérience aléatoire.
- Réunion
- Événement constitué des issues qui appartiennent à A ou à B, y compris celles qui appartiennent aux deux. Elle se note A ∪ B.
- Intersection
- Événement constitué des issues communes à A et à B. Elle se note A ∩ B.
- Événements incompatibles
- Événements qui ne peuvent pas se réaliser en même temps : ils n’ont aucune issue commune.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeSur une carte tirée au hasard, A signifie « avoir un cercle » et B signifie « avoir une étoile ». Une carte qui porte les deux symboles est comptée dans A et dans B : pour trouver la probabilité d’avoir au moins un des symboles, tu additionnes P(A) et P(B), puis tu retires P(A ∩ B) une fois. Ainsi, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) : « au moins un » comprend aussi le cas où les deux évènements se réalisent.
Dans un jeu de cartes, A signifie « tirer une carte verte » et B signifie « tirer une carte avec une lune ». On note p la probabilité de A, q celle de B et r celle d’avoir une carte verte avec une lune. Exprime la probabilité de tirer une carte verte ou une carte avec une lune, éventuellement les deux.
- L’évènement recherché est A ∪ B.Le mot « ou » accepte les cartes vertes, les cartes avec une lune et celles qui réunissent les deux caractéristiques.
- Additionne p et q.Tu réunis ainsi les probabilités des deux évènements, mais les cartes vertes avec une lune sont comptées deux fois.
- Retire r : P(A ∪ B) = p + q − r.Les cartes qui réunissent les deux caractéristiques doivent être comptées une seule fois.
- Vérifie que le résultat est au moins aussi grand que p et que q, sans dépasser la probabilité de l’évènement certain.La réunion contient chacun des deux évènements et reste un évènement possible de l’expérience.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Calculer la probabilité de la réunion de deux évènements à partir de leurs probabilités et de celle de leur intersection.
- Au programme
- 3e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 15 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers