Mathématiques · 3e · environ 10 min
Comparer deux nombres positifs en notation scientifique
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Imagine une droite graduée découpée aux puissances de dix. Un nombre a × 10ⁿ écrit en notation scientifique se place dans la tranche qui commence à 10ⁿ et s’arrête juste avant 10ⁿ⁺¹. Deux exposants différents placent donc les nombres dans des tranches différentes. Si les exposants sont égaux, les nombres sont dans la même tranche : le coefficient indique lequel est le plus à droite.
Cette lecture suppose des nombres positifs et des coefficients supérieurs ou égaux à un et strictement inférieurs à dix.
Compare 9,7 × 10² et 1,2 × 10³. Le premier est strictement inférieur à 10 × 10², donc à 10³. Le second est supérieur ou égal à 10³. Ils sont donc forcément dans cet ordre, sans avoir besoin de développer les deux écritures.
L’argument utilise la limite des coefficients en notation scientifique. Avec une écriture comme 25 × 10², il faut d’abord remettre le nombre en notation scientifique.
D’abord, vérifie que les deux écritures sont scientifiques. Ensuite, compare les exposants : s’ils sont différents, le nombre qui a le plus grand exposant est le plus grand. Enfin, si les exposants sont égaux, compare les coefficients ; si les coefficients aussi sont égaux, les nombres sont égaux.
Cette procédure concerne deux nombres positifs. Pour comparer des mesures, exprime-les d’abord dans la même unité.
Les pièges
Comparer les coefficients avant les exposants.
Tu as regardé les coefficients en premier. Reprends en comparant les exposants ; regarde les coefficients seulement si les exposants sont égaux.
Inverser l’ordre des exposants négatifs.
Place mentalement les exposants sur une droite graduée : le plus à droite est le plus grand. Par exemple, −2 est plus grand que −5.
Appliquer la règle à des écritures qui ne sont pas scientifiques.
Vérifie d’abord les coefficients. Si l’un d’eux est trop petit ou trop grand, transforme l’écriture sans changer la valeur, puis compare.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
La notation scientifique permet d’écrire simplement des nombres très grands ou très petits. Pour comparer ces nombres sans développer leur écriture décimale, on utilise leurs exposants, puis leurs coefficients si nécessaire.
Le cours
Un nombre positif en notation scientifique s’écrit a × 10ⁿ, où le coefficient a vérifie 1 ≤ a < 10 et où l’exposant n est un entier, positif, négatif ou nul. Avant de comparer deux nombres, vérifie que leurs écritures respectent bien cette condition.
Si les exposants sont différents, le nombre qui a le plus grand exposant est le plus grand. Cette règle fonctionne parce que les coefficients sont compris entre 1 inclus et 10 exclu : par exemple, tous les nombres d’exposant 4 sont compris entre 10⁴ inclus et 10⁵ exclu.
Avec des exposants négatifs, on compare les exposants comme des nombres relatifs : −2 > −5. Ainsi, 1,6 × 10⁻² > 9,4 × 10⁻⁵, même si le coefficient du premier nombre est plus petit. Le coefficient ne change pas la conclusion lorsque les exposants sont différents.
Si les exposants sont égaux, on compare les coefficients. Le nombre qui a le plus grand coefficient est le plus grand, car les deux coefficients sont multipliés par la même puissance de dix positive. Si les coefficients sont également égaux, les deux nombres sont égaux.
Pour rédiger une comparaison, indique d’abord ce que tu compares : les exposants, ou les coefficients lorsque les exposants sont égaux. Termine avec le symbole adapté : < signifie « est inférieur à », > signifie « est supérieur à » et = signifie « est égal à ».
Des exemples
Écris 3/100000 et 7/100000 en notation scientifique, puis compare-les.
Les dénominateurs 100000 et 100000 sont égaux et sont des puissances de dix. En notation scientifique, les nombres ont donc le même exposant, et leurs coefficients sont respectivement 3 et 7. Il suffit de comparer ces coefficients : 3 est inférieur à 7. Conclusion : <.
Écris 8/1000000 et 2/10000 en notation scientifique, puis compare-les.
Chaque dénominateur est une puissance de dix. Pour écrire chaque quotient en notation scientifique, on conserve son numérateur comme coefficient et on prend l’opposé de l’exposant de son dénominateur. Comme 1000000 est supérieur à 10000, le premier nombre a un exposant plus petit que le second. Il est donc plus petit, même si son coefficient 8 est supérieur à 2. Conclusion : <.
À retenir
- Vérifier que chaque coefficient est compris entre 1 inclus et 10 exclu.
- Comparer d’abord les exposants : le plus grand exposant donne le plus grand nombre.
- Avec des exposants négatifs, respecter l’ordre des nombres relatifs.
- Si les exposants sont égaux, comparer les coefficients.
- Même exposant et même coefficient : les nombres sont égaux.
Les mots de la leçon
- Notation scientifique
- Écriture d’un nombre positif sous la forme a × 10ⁿ, avec 1 ≤ a < 10 et n entier.
- Coefficient
- Dans l’écriture scientifique a × 10ⁿ, le nombre a multiplie la puissance de dix.
- Exposant
- Dans 10ⁿ, l’entier n écrit en haut à droite de 10. Il indique la puissance de dix utilisée.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardePour comparer 7,2 × 10⁴ et 3,8 × 10⁴, regarde les coefficients : les puissances de dix sont identiques, donc le premier nombre est plus grand. En revanche, 1,3 × 10⁵ est plus grand que 9,6 × 10⁴ : en notation scientifique, le plus grand exposant l’emporte, même si son coefficient est plus petit. Cette règle fonctionne aussi avec des exposants négatifs : 10⁻² est plus grand que 10⁻³.
Compare 8,4 × 10⁻⁶ et 2,7 × 10⁻⁵.
- Vérifie que chaque coefficient est supérieur ou égal à un et strictement inférieur à dix.On peut comparer directement les exposants seulement si les deux nombres sont bien en notation scientifique.
- Compare les exposants : −5 est plus grand que −6.Parmi des nombres négatifs, celui qui est le plus proche de zéro est le plus grand.
- Conclus : 8,4 × 10⁻⁶ < 2,7 × 10⁻⁵.Les exposants sont différents : le plus grand exposant désigne ici le plus grand nombre. Le coefficient 8,4 ne change pas cette conclusion.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Déterminer lequel de deux nombres positifs écrits en notation scientifique est le plus grand, que leurs exposants soient égaux ou différents.
- Au programme
- 3e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 10 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers