Mathématiques · 3e · environ 15 min
Résoudre une équation produit nul
Il aide de savoir :Traduire un problème simple par une équation
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Écris l’équation en haut de ta feuille. Entoure chaque facteur d’une couleur différente. Trace une branche vers « premier facteur = 0 » et une autre vers « second facteur = 0 ». Résous chaque branche, puis rassemble les solutions en bas. Entre les branches, écris « ou », pas « et ».
Ce schéma s’utilise lorsque l’équation présente un produit égal à zéro. Une somme égale à zéro ne se sépare pas de cette manière.
Dessine un rectangle sur du papier quadrillé. Rapproche deux côtés opposés jusqu’à ce qu’une dimension devienne nulle : le rectangle s’aplatit et son aire devient nulle, même si l’autre dimension ne l’est pas. Recommence dans l’autre sens. Cela illustre pourquoi une seule valeur nulle suffit dans un produit.
Les longueurs du dessin sont positives ou nulles. Cette image aide à comprendre la règle, mais les facteurs d’une équation peuvent aussi être négatifs : pour résoudre, utilise ensuite les deux équations.
Appelle A et B les deux facteurs. Si A est nul, le produit AB est nul. Si A n’est pas nul et que AB = 0, tu peux diviser les deux membres par A : B doit alors être nul. Ces deux possibilités couvrent tous les cas.
Tu peux diviser par A seulement dans le cas où tu sais que A n’est pas nul. Diviser directement par un facteur contenant x peut faire perdre une solution.
Les pièges
N’annuler qu’un seul facteur et oublier l’autre.
Tu as trouvé une possibilité. Écris maintenant l’équation obtenue en annulant l’autre facteur, puis réunis les solutions.
Diviser les deux membres par un facteur contenant x.
Reviens au produit initial. Au lieu de diviser par un facteur, ouvre deux branches et annule chaque facteur séparément.
Utiliser la règle du produit nul alors que le produit n’est pas égal à zéro.
Vérifie d’abord les deux membres. Il faut obtenir un produit égal à zéro avant de séparer les facteurs.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Une équation produit nul permet de trouver les valeurs de l’inconnue qui rendent un produit égal à zéro. On la résout en cherchant quand chacun de ses facteurs s’annule, sans développer le produit.
Le cours
Un produit est nul si et seulement si au moins l’un de ses facteurs est nul. Ainsi, A × B = 0 équivaut à A = 0 ou B = 0. Les deux facteurs peuvent aussi être nuls en même temps.
Pour résoudre une équation de la forme (ax + b)(cx + d) = 0, on écrit donc : ax + b = 0 ou cx + d = 0. On résout séparément ces équations du premier degré, puis on rassemble toutes les valeurs obtenues.
Pour résoudre chaque équation du premier degré, on effectue la même opération sur ses deux membres afin d’isoler x. Par exemple, si a est non nul, ax + b = 0 donne ax = −b, puis x = −b/a.
La propriété du produit nul s’applique seulement lorsque l’un des membres est un produit et que l’autre est zéro. Si nécessaire, on commence par ramener tous les termes dans le même membre, puis on factorise. Une somme égale à zéro ne permet pas d’affirmer que chacun de ses termes est nul.
On termine en écrivant l’ensemble des solutions, noté S. Si les équations donnent des valeurs différentes, on les conserve toutes ; si elles donnent la même valeur, on ne l’écrit qu’une fois. On peut vérifier chaque solution en la remplaçant dans l’équation de départ : elle doit annuler au moins un facteur.
Des exemples
Résoudre l’équation x(7x + 35) = 0.
Le produit est égal à 0 : on cherche donc quand chaque facteur s’annule. Le facteur x s’annule pour x = 0. Pour l’autre facteur, on résout 7x + 35 = 0x + 0, ce qui donne x = -5. L’ensemble des solutions contient donc 0 et -5. Chacune de ces valeurs annule un facteur du produit.
Résoudre l’équation (8x + 22)(8x + 22) = 0.
Les facteurs sont identiques. Dans chaque cas, on doit résoudre 8x + 22 = 0x + 0, ce qui donne x = -11/4. Cette valeur annule chaque facteur, donc le produit. L’ensemble des solutions contient uniquement -11/4 : une même solution ne se compte pas plusieurs fois.
À retenir
- Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.
- Vérifier que l’équation présente bien un produit égal à zéro.
- Écrire que le premier facteur est nul ou que le second facteur est nul.
- Résoudre chaque équation, puis réunir toutes les solutions.
- Ne pas diviser par un facteur contenant l’inconnue : on risquerait de perdre une solution.
- Une solution obtenue plusieurs fois ne s’écrit qu’une fois.
Les mots de la leçon
- Équation produit nul
- Équation dont un membre est un produit de facteurs et dont l’autre membre est zéro.
- Facteur
- Expression que l’on multiplie par une autre dans un produit.
- Solution d’une équation
- Valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie lorsqu’on la remplace dans l’équation.
- Ensemble des solutions
- Ensemble de toutes les valeurs qui vérifient l’équation, généralement noté S.
- Factoriser
- Transformer une expression en un produit de facteurs.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardePour qu’un produit soit nul, il suffit qu’un de ses facteurs soit nul. Dans (x − a)(x − b) = 0, tu cherches donc les valeurs de x qui annulent le premier facteur ou le second, puis tu les réunis sans répéter une même solution.
Résous (x − a)(x − b) = 0, où a et b représentent deux nombres connus.
- Repère les deux facteurs : x − a et x − b.Le membre de gauche est un produit et le membre de droite est zéro : tu peux utiliser la règle du produit nul.
- Écris : x − a = 0 ou x − b = 0.Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.
- Résous séparément : x = a ou x = b.Dans chaque équation, tu ajoutes le nombre soustrait aux deux membres.
- Conclus : les solutions sont a et b. Si a et b sont égaux, écris cette solution une seule fois.Tu dois conserver toutes les valeurs qui conviennent, sans doublon.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Déterminer toutes les solutions d’une équation dont un membre est un produit de deux expressions du premier degré et l’autre est zéro.
- Au programme
- 3e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
- Avant de commencer
- Traduire un problème simple par une équation
- Combien de temps
- Environ 15 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers