Mathématiques · 3e · environ 15 min
Résoudre une équation de la forme x² = a
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Imagine une droite graduée avec zéro au centre. Pour a > 0, place √a à droite de zéro et −√a à gauche, à la même distance : ces deux nombres ont pour carré a. Pour a = 0, les deux positions se rejoignent en zéro. Pour a < 0, aucun point ne convient, car une distance au carré ne peut pas être négative.
Ce dessin concerne les solutions réelles de x² = a. La distance √a n’existe dans les réels que lorsque a est positif ou nul.
Si a > 0, appelle r le nombre √a. L’équation x² = a devient x² − r² = 0, donc (x − r)(x + r) = 0. Un produit est nul lorsqu’au moins un de ses facteurs est nul : x = r ou x = −r. Si a = 0, seul x = 0 convient. Si a < 0, le fait qu’un carré soit toujours positif ou nul suffit à conclure.
La factorisation avec r = √a demande que a soit positif ou nul. Pour a = 0, les deux facteurs donnent la même solution.
Compare « calculer √a » et « résoudre x² = a ». Pour a > 0, √a désigne un seul nombre, positif, tandis que l’équation possède aussi la solution négative −√a. Dans les exercices, effectue le calcul demandé à droite de l’égalité, puis donne séparément toutes les solutions : le résultat du calcul préparatoire n’est pas encore la réponse à l’équation.
La réponse avec deux solutions vaut seulement pour a > 0. Une longueur doit en plus respecter la contrainte du problème : elle ne peut pas être négative.
Les pièges
Donner seulement la solution positive lorsque a > 0.
Ta solution positive convient. Vérifie maintenant son opposé : son carré vaut aussi a, donc ajoute cette autre solution.
Chercher une solution réelle lorsque a < 0.
Quand tu multiplies un nombre négatif par lui-même, le résultat est positif. Aucun nombre réel ne peut donc avoir le carré négatif demandé.
Compter deux solutions lorsque a = 0.
Zéro et son opposé sont le même nombre. Garde une seule solution.
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2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Résoudre une équation de la forme x² = a, c’est chercher tous les nombres réels dont le carré vaut a. On rencontre ce type d’équation notamment pour retrouver une longueur à partir d’une aire ou dans un calcul utilisant le théorème de Pythagore.
Le cours
Dans l’équation x² = a, x est l’inconnue et a est un nombre donné. Résoudre cette équation consiste à trouver toutes les valeurs de x qui rendent l’égalité vraie. Pour tout nombre réel x, on a x² ≥ 0 : un carré n’est jamais négatif.
Si a > 0, l’équation x² = a possède exactement deux solutions : √a et −√a. En effet, ces deux nombres opposés ont le même carré, égal à a. Attention : √a désigne uniquement la racine carrée positive de a, et non les deux solutions.
Si a = 0, l’équation x² = 0 possède une seule solution : x = 0. Le seul nombre dont le carré est nul est zéro.
Si a < 0, l’équation x² = a ne possède aucune solution réelle, car le carré d’un nombre réel ne peut pas être négatif.
Pour résoudre une équation de ce type, on commence par isoler x² si nécessaire, puis on regarde le signe du nombre obtenu à droite de l’égalité. On applique ensuite le cas correspondant. On donne les solutions sous forme exacte : si une racine carrée ne s’écrit pas comme un entier, on conserve l’écriture avec √, en la simplifiant lorsque c’est possible. Une valeur décimale arrondie n’est qu’une approximation.
Des exemples
Résous l’équation : x au carré = 17 à la puissance 2.
Le membre de droite vaut 289, qui est strictement positif. Comme il s’agit du carré de 17, les solutions sont −17 et 17. Ces nombres opposés ont bien le même carré.
Résous l’équation : x au carré = 19 + 4. Donne les solutions exactes.
On calcule 19 + 4 = 23. Ce résultat est strictement positif : les solutions sont −√23 et √23. On conserve ces écritures exactes, car cette racine carrée n’est pas un entier.
Résous l’équation : x au carré = 26 − 26.
On calcule 26 − 26 = 0. Le membre de droite est nul : l’unique solution est donc x = 0. Il n’y a pas de solution distincte à ajouter en changeant le signe.
Résous dans les nombres réels l’équation : x au carré = 14 − 31.
On calcule 14 − 31 = -17. Ce résultat est strictement négatif. Comme un carré ne peut pas être négatif, l’équation n’a aucune solution réelle.
À retenir
- Un carré est toujours positif ou nul.
- Si a > 0 : deux solutions, −√a et √a.
- Si a = 0 : une seule solution, 0.
- Si a < 0 : aucune solution réelle.
- √a est la racine carrée positive de a : ne pas oublier la solution opposée quand a > 0.
- Garder les racines carrées pour donner des valeurs exactes si nécessaire.
Les mots de la leçon
- Inconnue
- Nombre que l’on cherche dans une équation, généralement représenté par une lettre comme x.
- Solution d’une équation
- Valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie lorsqu’on la remplace par cette valeur.
- Racine carrée
- Pour un nombre a positif ou nul, la racine carrée de a, notée √a, est l’unique nombre positif ou nul dont le carré vaut a.
- Nombres opposés
- Deux nombres dont la somme est nulle. Un nombre et son opposé ont le même carré.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeUn nombre et son opposé ont le même carré : si r est positif, r × r et (−r) × (−r) donnent tous les deux r². Ainsi, pour résoudre x² = a dans les réels, regarde le signe de a : deux solutions si a > 0, une seule si a = 0, aucune si a < 0.
Résous dans les réels l’équation x² = a selon la valeur du nombre a.
- Si a > 0, les solutions sont x = −√a et x = √a.√a est le nombre positif dont le carré vaut a. Son opposé a exactement le même carré.
- Si a = 0, l’unique solution est x = 0.Seul zéro a un carré nul. Écrire −0 et +0 ne donne pas deux nombres différents.
- Si a < 0, l’équation n’a aucune solution réelle.Le carré d’un nombre réel est toujours positif ou nul.
- Quand a > 0 et que sa racine carrée ne s’écrit pas exactement sous forme décimale, garde les écritures −√a et √a.Une valeur approchée ne remplace pas une solution exacte.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Déterminer toutes les solutions réelles d’une équation de la forme x² = a, selon que a est positif, nul ou négatif, et donner les valeurs exactes à l’aide de racines carrées si nécessaire.
- Au programme
- 3e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 15 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers