Mathématiques · 3e · environ 25 min

Résoudre une inéquation ax ⩾ b par le calcul et le graphique

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S'entraîner : une série dédiée, en paliers Rituel : Calcul mental

Explique-moi autrement

Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.

Pour résoudre ax ⩾ b, vérifie que a est non nul, puis regarde son signe. Divise les deux membres par a : si a est positif, garde ⩾ ; si a est négatif, remplace ⩾ par ⩽. Sur une droite graduée, place la borne b/a avec un point plein. Colorie vers la droite pour x ⩾ b/a et vers la gauche pour x ⩽ b/a.

Cette méthode s’applique directement à ax ⩾ b avec a non nul. Si d’autres termes contenant x sont présents, il faut d’abord les regrouper.

Les pièges

Garder le même sens d’inégalité après une division par un nombre négatif.
La division est la bonne opération. Regarde maintenant le signe du diviseur : s’il est négatif, inverse le sens de l’inégalité.
Donner seulement la borne comme réponse.
Tu as trouvé l’endroit où les deux expressions sont égales. Il reste à choisir le côté de cette borne qui convient, puis à garder la borne puisque l’égalité est autorisée.
Comparer les abscisses au lieu des ordonnées sur le graphique.
Choisis une même abscisse pour les deux droites, puis compare leurs hauteurs. Garde cette abscisse si y = ax est au-dessus de y = b ou à la même hauteur.

Je me teste

2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.

La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer

La leçon

Ce qu'il faut savoir

Résoudre une inéquation permet de trouver toutes les valeurs d’une inconnue qui respectent une contrainte, par exemple atteindre un montant minimal. On peut déterminer ces valeurs par le calcul, puis les représenter sur une droite graduée ou les retrouver en comparant deux droites dans un repère.

Le cours

Une inéquation est une inégalité contenant une inconnue, souvent notée x. Résoudre ax ⩾ b, avec a non nul, consiste à trouver tous les nombres x pour lesquels ax est supérieur ou égal à b. Contrairement à une équation du premier degré, cette inéquation possède une infinité de solutions.
Pour isoler x, on divise les deux membres par a. Si a > 0, on conserve le sens de l’inégalité : ax ⩾ b équivaut à x ⩾ b/a. Si a < 0, on inverse le sens de l’inégalité : ax ⩾ b équivaut à x ⩽ b/a. Il faut donc toujours regarder le signe de a avant de diviser.
Le nombre b/a est la valeur limite des solutions. Il est lui-même solution, car a × (b/a) = b et le signe ⩾ autorise l’égalité. Pour vérifier une réponse, on peut remplacer x dans l’inéquation de départ par cette valeur, puis par une valeur située du côté annoncé.
Sur une droite graduée, on place un point plein en b/a pour montrer que cette valeur est comprise dans les solutions. Pour x ⩾ b/a, on trace la demi-droite vers la droite, du côté des nombres plus grands. Pour x ⩽ b/a, on trace la demi-droite vers la gauche, du côté des nombres plus petits.
Pour résoudre graphiquement, on trace dans un même repère les droites d’équations y = ax et y = b ; la seconde est horizontale. On cherche les abscisses pour lesquelles la droite y = ax est au-dessus de la droite y = b ou sur celle-ci. Leur point d’intersection a pour abscisse b/a. Si a est positif, les solutions sont à droite de cette abscisse ; si a est négatif, elles sont à gauche. L’abscisse du point d’intersection est toujours incluse.

Des exemples

Résous 7x ⩾ 91 par le calcul, puis indique comment représenter les solutions sur une droite graduée et les retrouver graphiquement.
Le coefficient 7 est positif : on divise les deux membres par 7 sans changer le sens de l’inégalité. On obtient x ⩾ 13. Les solutions sont tous les nombres supérieurs ou égaux à 13. Sur une droite graduée, on place un point plein en 13 et on trace la demi-droite vers la droite. Dans un repère, les droites y = 7x et y = 91 se coupent à l’abscisse 13, obtenue en résolvant l’égalité 7x = 91. La droite y = 7x est au-dessus de la droite horizontale pour les abscisses supérieures à 13 ; l’abscisse d’intersection est également solution.
Résous -8x ⩾ 56 par le calcul, puis indique comment représenter les solutions sur une droite graduée et les retrouver graphiquement.
Le coefficient -8 est négatif : on divise les deux membres par -8 en inversant le sens de l’inégalité. On obtient x ⩽ -7. Les solutions sont tous les nombres inférieurs ou égaux à -7. Sur une droite graduée, on place un point plein en -7 et on trace la demi-droite vers la gauche. Dans un repère, les droites y = -8x et y = 56 se coupent à l’abscisse -7, obtenue en résolvant l’égalité -8x = 56. La droite y = -8x est au-dessus de la droite horizontale pour les abscisses inférieures à -7 ; l’abscisse d’intersection est également solution.

À retenir

Résoudre une inéquation, c’est trouver toutes les valeurs qui rendent l’inégalité vraie.
Diviser par un nombre positif conserve le sens de l’inégalité.
Diviser par un nombre négatif inverse le sens de l’inégalité.
La valeur limite b/a est incluse : on la marque par un point plein.
Sur une droite graduée : x ⩾ b/a vers la droite ; x ⩽ b/a vers la gauche.
Graphiquement, on cherche où y = ax est au-dessus de y = b, en incluant leur intersection.

Les mots de la leçon

Inéquation: Inégalité contenant une inconnue dont on cherche les valeurs qui rendent cette inégalité vraie.
Solution d’une inéquation: Nombre qui, lorsqu’il remplace l’inconnue, rend l’inégalité vraie.
Membres d’une inégalité: Expressions situées de chaque côté du signe d’inégalité.
Abscisse: Nombre qui repère un point sur une droite graduée ou sa position horizontale dans un repère.

Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape

RegardeRésoudre ax ⩾ b, c’est chercher toutes les valeurs de x pour lesquelles ax est supérieur ou égal à b. Si a est positif, on obtient x ⩾ b/a ; si a est négatif, on obtient x ⩽ b/a. Sur le graphique, ce sont les abscisses où la droite y = ax est au-dessus de la droite horizontale y = b, ou à la même hauteur.

Résous ax ⩾ b lorsque a est négatif, puis représente les solutions sur une droite graduée et explique comment les retrouver sur un graphique.

Repère que a est négatif et non nul.Le signe du nombre par lequel on divise détermine si le sens de l’inégalité change.
Divise les deux membres par a et inverse le sens de l’inégalité : x ⩽ b/a.Diviser par un nombre négatif inverse l’ordre.
Sur une droite graduée, place un point plein en b/a et colorie la demi-droite située à sa gauche.Les solutions sont toutes les valeurs inférieures ou égales à b/a. Le point est plein parce que l’égalité est autorisée.
Trace les droites y = ax et y = b, puis repère leur intersection, d’abscisse b/a.À l’intersection, les deux ordonnées sont égales : ax = b.
Lis les abscisses pour lesquelles la droite y = ax est au-dessus de la droite y = b, intersection comprise.Comme a est négatif, la droite y = ax descend quand on va vers la droite. Elle est au-dessus de l’horizontale à gauche de l’intersection : on retrouve x ⩽ b/a.

Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider

Ce que votre enfant apprend: Déterminer les solutions de ax ⩾ b pour a non nul en tenant compte de son signe, les représenter sur une droite graduée et les retrouver en comparant les graphes de y = ax et y = b.
Au programme: 3e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
Combien de temps: Environ 25 minutes, en une fois ou en plusieurs.

Comment l'accompagner

Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.

Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers