Mathématiques · 3e · environ 10 min

Simplifier un quotient littéral avec un facteur commun

Je m'entraîne

S'entraîner : une série dédiée, en paliers Rituel : Calcul mental

Explique-moi autrement

Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.

Prends des cartes portant les lettres f, u et v, ainsi que des cartes « × », « + » et une barre de fraction. Construis (f × u) / (f × v), avec f et v non nuls. Retire la carte f au-dessus et celle au-dessous : il reste u / v. Construis ensuite (f + u) / (f × v). Cette fois, tu ne peux pas retirer les cartes f : en haut, f est un terme de la somme, pas un facteur de tout le numérateur.

Tu peux retirer les cartes seulement si elles représentent un même facteur non nul de tout le numérateur et de tout le dénominateur.

Les pièges

Supprimer une lettre dans une somme comme si elle était un facteur commun.
Regarde le signe qui relie les morceaux du numérateur. Avant de simplifier, il faut pouvoir écrire tout le numérateur comme un produit contenant le facteur à supprimer.
Supprimer le dénominateur sans retirer le facteur correspondant au numérateur.
Repère la paire de facteurs identiques : celui du haut et celui du bas doivent disparaître ensemble.
Oublier la condition sur le facteur supprimé.
Avant de simplifier, note quelles valeurs rendent le dénominateur nul. Elles restent interdites dans l’expression de départ.

Je me teste

2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.

La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer

La leçon

Ce qu'il faut savoir

Simplifier un quotient littéral permet d’obtenir une expression plus courte, mais de même valeur partout où le quotient de départ est défini. On s’en sert pour faciliter les calculs et rendre les expressions plus lisibles.

Le cours

Un quotient est défini seulement si son dénominateur est différent de zéro. Avant de simplifier, on repère donc les valeurs interdites : ce sont les valeurs des lettres qui annuleraient le dénominateur.
On peut supprimer un même facteur non nul au numérateur et au dénominateur. La règle est : (A × C)/(B × C) = A/B, à condition que B et C soient non nuls. Cela revient à diviser le numérateur et le dénominateur par C.
Pour simplifier, on écrit le numérateur et le dénominateur sous forme de produits, on repère un facteur commun, puis on le supprime des deux côtés de la barre de fraction. Une parenthèse entière peut être un facteur commun. Par exemple, dans 5(x + 2)/(x + 2), le facteur commun est (x + 2) : le quotient vaut 5 pour x différent de −2.
On supprime des facteurs, jamais des termes d’une somme. Dans (x + 3)/(x + 5), on ne peut donc pas supprimer les x. Si un facteur n’est pas visible, une factorisation peut le faire apparaître : (4x + 12)/4 = 4(x + 3)/4 = x + 3. Après toute simplification, les valeurs interdites du quotient de départ restent interdites, même si la nouvelle expression ne comporte plus de dénominateur.

Des exemples

Simplifie (13 × 17 × x)/(13 × x), en précisant la valeur interdite.
Le dénominateur s’annule lorsque x est nul : cette valeur est interdite. Le numérateur peut s’écrire 221x, car 13 × 17 = 221, mais l’écriture en produit permet de voir directement le facteur commun 13 × x. Ce facteur étant non nul pour les valeurs autorisées, on le supprime au numérateur et au dénominateur. Il reste 17, avec x toujours non nul.
Simplifie (19 × 23 × x × (x + 19))/(23 × (x + 19)), en précisant la valeur interdite.
Le dénominateur s’annule lorsque x = −19 : cette valeur est interdite. Comme 19 × 23 = 437, le numérateur pourrait aussi s’écrire 437x(x + 19), mais l’écriture en produit fait mieux apparaître les facteurs communs. On supprime le facteur 23 et la parenthèse entière (x + 19) au numérateur et au dénominateur. Il reste 19x, avec x toujours différent de −19.

À retenir

Commencer par chercher les valeurs qui annulent le dénominateur.
On peut supprimer un même facteur non nul au numérateur et au dénominateur.
On simplifie des produits, pas des termes séparés par une addition ou une soustraction.
Factoriser peut faire apparaître un facteur commun.
Les valeurs interdites au départ restent interdites après la simplification.

Les mots de la leçon

Numérateur: Expression située au-dessus de la barre de fraction.
Dénominateur: Expression située au-dessous de la barre de fraction. Sa valeur doit être différente de zéro.
Facteur commun: Expression qui multiplie le reste dans plusieurs produits. Pour la supprimer au numérateur et au dénominateur, elle doit être non nulle.
Factoriser: Transformer une somme ou une différence en un produit.
Valeur interdite: Valeur d’une lettre qui annule le dénominateur et pour laquelle le quotient n’est donc pas défini.

Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape

RegardeDans x × (x + u) / x, avec x non nul, le numérateur et le dénominateur ont le facteur x en commun : le quotient se simplifie en x + u. On supprime un facteur qui multiplie tout le numérateur et tout le dénominateur, jamais un morceau d’une somme.

Simplifie (k × x × y) / (k × x), avec k et x non nuls.

Regroupe le numérateur : ((k × x) × y) / (k × x).Tu fais apparaître exactement le même facteur k × x en haut et en bas.
Vérifie que k × x est non nul.Les deux lettres k et x sont non nulles. Leur produit peut donc être supprimé au numérateur et au dénominateur.
Le quotient se simplifie en y.Diviser (k × x) × y par k × x laisse y.

Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider

Ce que votre enfant apprend: Simplifier un quotient d’expressions littérales en supprimant un facteur commun non nul au numérateur et au dénominateur.
Au programme: 3e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
Combien de temps: Environ 10 minutes, en une fois ou en plusieurs.

Comment l'accompagner

Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.

Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers