Résoudre une équation produit nul

Une équation produit nul permet de trouver les valeurs de l’inconnue qui rendent un produit égal à zéro. On la résout en cherchant quand chacun de ses facteurs est nul, sans développer le produit.

Le cours

1. Un produit est nul si et seulement si au moins l’un de ses facteurs est nul. Ainsi, A(x)B(x) = 0 équivaut à A(x) = 0 ou B(x) = 0. Le mot « ou » signifie qu’il suffit que l’une des égalités soit vraie ; elles peuvent aussi être vraies toutes les deux.

2. Avant d’utiliser cette propriété, vérifie que l’un des membres est un produit et que l’autre est zéro. Si nécessaire, rassemble tous les termes dans un même membre, puis factorise. La propriété ne s’applique pas directement à une somme ni à un produit égal à un nombre non nul.

3. Repère les facteurs du produit, puis écris une équation pour chaque facteur : le premier facteur est égal à zéro ou le second facteur est égal à zéro. Résous ensuite ces équations séparément, en effectuant la même opération dans les deux membres de chaque équation.

4. Réunis toutes les valeurs trouvées : chacune est une solution de l’équation de départ. Si une même valeur apparaît plusieurs fois, écris-la une seule fois. Tu peux présenter les solutions dans un ensemble noté S, entre accolades.

5. Pour vérifier une solution, remplace l’inconnue par cette valeur dans le produit de départ : au moins un facteur doit devenir nul. Ne divise pas l’équation par un facteur contenant l’inconnue : ce facteur pourrait être nul et tu risquerais de perdre une solution.

Des exemples

• Résous l’équation x(7x + 35) = 0.

  Le produit est nul lorsque x = 0 ou lorsque 7x + 35 = 0. Pour résoudre la seconde équation, on peut l’écrire 7x + 35 = 0x + 0 : on soustrait 35, puis on divise par 7, ce qui donne x = -5. Les solutions sont donc 0 et -5. Le facteur x ne doit pas être oublié.

• Résous l’équation (4x + 28)(4x − 28) = 0.

  On écrit 4x + 28 = 0 ou 4x − 28 = 0. La première équation, qui s’écrit aussi 4x + 28 = 0x + 0, donne x = -7. Pour la seconde, on ajoute 28 aux deux membres, puis on divise par 4 : x = 28/4. Cette valeur est l’opposé de -7. Les solutions sont donc -7 et son opposé.

• Résous l’équation (9x + 54)(9x + 54) = 0.

  Les facteurs sont identiques : les annuler conduit à la même équation 9x + 54 = 0, qui s’écrit aussi 9x + 54 = 0x + 0. En soustrayant 54, puis en divisant par 9, on obtient x = -6. Cette valeur apparaît pour chaque facteur, mais on ne l’écrit qu’une fois : l’équation a pour unique solution -6.