Mettre en équation une situation à plusieurs étapes

Mettre une situation en équation permet de traduire un problème par une égalité contenant une inconnue. Cette démarche est utile lorsque plusieurs calculs dépendent d’une même quantité à trouver.

Le cours

1. Commence par repérer ce que le problème demande et les données utiles. Choisis l’inconnue et définis-la précisément, avec son unité si nécessaire : par exemple, « x désigne la durée en heures ». Indique ses contraintes : un nombre d’objets doit être un entier positif ou nul ; une longueur doit être strictement positive.

2. Exprime ensuite les quantités utiles en fonction de x. Par exemple, si x désigne un prix, le prix de trois articles identiques s’écrit 3x. Si une longueur dépasse x de cinq centimètres, elle s’écrit x + 5. Lorsqu’une opération porte sur toute une somme, utilise des parenthèses : le double de x + 5 s’écrit 2(x + 5).

3. Si la situation comporte plusieurs étapes, traduis-les dans leur ordre et conserve les expressions obtenues. Tu peux nommer chaque quantité ou organiser les données dans un tableau. Ne confonds pas une expression, qui représente une quantité, avec une équation, qui affirme l’égalité de deux expressions.

4. Repère la relation qui permet d’écrire une égalité : deux prix identiques, une somme égale à un total, deux longueurs égales… Écris chaque membre avec des quantités de même nature et dans la même unité. L’équation doit traduire exactement cette relation, sans ajouter d’information.

5. Résous ensuite l’équation en conservant l’égalité à chaque transformation. Vérifie chaque solution obtenue : elle doit respecter les contraintes et convenir dans la situation de départ. Termine par une phrase qui répond à la question avec l’unité adaptée. Une solution de l’équation qui ne respecte pas les contraintes n’est pas une réponse au problème.

Des exemples

• Pour louer du matériel, une boutique facture 18 € de frais fixes, puis 7 € par heure. Une autre facture 45 € de frais fixes, puis 4 € par heure. Pour quelle durée les prix sont-ils égaux ? La durée peut être une partie d’heure.

  On note x la durée de location en heures ; x doit être positif ou nul. Dans la première boutique, la partie variable coûte 7x euros, puis on ajoute les frais fixes : le prix est 7x + 18. Dans la seconde, il est 4x + 45. On cherche donc à résoudre 7x + 18 = 4x + 45. En regroupant les termes, on obtient (7 − 4)x = 45 − 18, puis x = 9. Cette valeur est admissible et donne le même prix dans les deux boutiques. Les prix sont donc égaux pour une durée de 9 heures.

• Un atelier possède des cartons contenant chacun 6 pièces et 31 pièces en vrac. Un autre possède autant de cartons, contenant chacun 4 pièces, et 17 pièces en vrac. Peut-on choisir un nombre de cartons par atelier pour que les quantités totales de pièces soient égales ?

  On note x le nombre de cartons dans chaque atelier ; x doit être un entier positif ou nul. Le premier atelier possède 6x pièces en cartons, auxquelles s’ajoutent 31 pièces : son total est 6x + 31. Le total du second est 4x + 17. L’égalité des quantités se traduit par 6x + 31 = 4x + 17. La résolution donne x = -7. Cette valeur est négative : elle ne peut pas représenter un nombre de cartons. L’équation a une solution, mais le problème n’a pas de solution admissible.