Formaliser une propriété générale avec des lettres

Une égalité littérale permet d’écrire en une seule ligne une propriété valable pour de nombreux nombres. On l’utilise pour exprimer une règle de calcul, justifier une transformation ou expliquer pourquoi un calcul fonctionne.

Le cours

1. Pour traduire une propriété générale, on remplace les nombres dont on parle par des lettres, puis on relie les expressions obtenues par le signe =. Par exemple, « changer l’ordre des facteurs ne change pas leur produit » s’écrit a × b = b × a. Cette égalité est vraie pour tous les nombres a et b.

2. Les lettres représentent des nombres quelconques parmi ceux autorisés par l’énoncé. Dans une même égalité, une lettre garde la même valeur à chaque apparition. Deux lettres différentes peuvent représenter des nombres différents ou égaux. Ici, les lettres servent à exprimer une règle générale : ce ne sont pas nécessairement des inconnues à trouver.

3. Il faut respecter les opérations et les regroupements indiqués par les mots. Ainsi, « multiplier un nombre par une somme revient à multiplier ce nombre par chaque terme de la somme, puis à additionner les produits » se traduit par a(b + c) = ab + ac : c’est la distributivité. Les écritures ab et a(b + c) signifient respectivement a × b et a × (b + c). Les parenthèses indiquent que le facteur a multiplie toute la somme.

4. Une propriété doit être accompagnée de ses conditions de validité lorsqu’il y en a. Par exemple, « le quotient d’un nombre par lui-même vaut un » s’écrit x/x = 1, à condition que x ≠ 0, car on ne peut pas diviser par zéro. Si les lettres représentent des longueurs, leurs valeurs doivent aussi respecter le contexte géométrique.

5. Pour formaliser une propriété, repère les quantités, choisis les lettres qui les représentent, puis traduis chaque opération avant d’écrire l’égalité. Précise ensuite les valeurs autorisées. Remplacer les lettres par des nombres aide à vérifier la traduction, mais un exemple numérique ne prouve pas une propriété générale. Attention aussi à distinguer une propriété, vraie pour toutes les valeurs autorisées, d’une équation comme x + 3 = 8, qui n’est vraie que pour certaines valeurs de x.

Des exemples

• Traduis avec des lettres : « Changer l’ordre des termes d’une addition ne change pas leur somme. » Illustre cette propriété avec 47 et 68.

  On note a et b les nombres additionnés. La propriété s’écrit a + b = b + a et elle est valable pour tous les nombres a et b. Avec les valeurs proposées, 47 + 68 = 68 + 47 = 115. Les lettres permettent d’exprimer la propriété sans la limiter à cet exemple.

• Traduis avec des lettres : « Le produit d’un nombre par une somme est égal à la somme des produits de ce nombre par chaque terme. » Applique ensuite cette propriété à 23 × (46 + x).

  On appelle a le facteur et b et c les termes de la somme. La propriété générale s’écrit a(b + c) = ab + ac. Elle est valable pour tous les nombres a, b et c. Dans l’expression proposée, on obtient 23 × (46 + x) = 23 × 46 + 23x = 1058 + 23x, pour tout nombre x.

• Traduis avec des lettres : « La somme de plusieurs fois un même nombre s’obtient en additionnant les multiplicateurs. » Utilise cette propriété pour réduire 37x + 58x en un seul terme.

  Si a et b sont les multiplicateurs et x le nombre commun, la propriété s’écrit ax + bx = (a + b)x. C’est la distributivité utilisée pour mettre x en facteur. Elle est valable pour tous les nombres a, b et x. Ainsi, 37x + 58x = (37 + 58)x = 95x. Le résultat est une expression littérale, pas seulement un nombre.