Mathématiques · 3e · environ 15 min
Factoriser une différence de deux carrés
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Imagine un carré de côté A auquel tu retires, dans un coin, un carré de côté B. La surface restante vaut A² − B². Découpe cette forme en deux rectangles : l'un mesure A sur A − B, l'autre B sur A − B. En les plaçant côte à côte, tu obtiens un rectangle de côtés A − B et A + B. Son aire vaut donc (A − B)(A + B).
Pour représenter de vraies longueurs, on suppose A > B > 0. L'égalité algébrique reste vraie pour tous les nombres réels A et B.
Commence par vérifier qu'il y a une soustraction. Cherche ensuite ce qu'il faut multiplier par lui-même pour obtenir chaque terme. Par exemple, dans 49t² − 16u², les expressions à repérer sont 7t et 4u. Écris alors une parenthèse avec leur différence, puis une autre avec leur somme : (7t − 4u)(7t + 4u). Pour vérifier, développe et observe l'annulation des deux termes du milieu.
Cette règle s'applique directement à une différence de deux carrés. Elle ne permet pas de transformer A² + B² en (A − B)(A + B). Si un terme contient plusieurs morceaux, garde les parenthèses autour de l'expression entière.
Les pièges
Écrire A² − B² = (A − B)².
Tu as bien repéré A et B. Garde une parenthèse avec le signe moins et écris l'autre avec le signe plus, puis développe pour vérifier.
Prendre A = 36x dans une expression qui commence par 36x².
Cherche séparément ce qui donne le coefficient au carré et ce qui donne la partie avec la lettre. Réunis ensuite les deux dans A.
Appliquer la règle à A² + B².
Avant de choisir les facteurs, regarde le signe entre les carrés. Pour cette règle, il faut un signe moins.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Factoriser une différence de deux carrés permet de transformer une soustraction en un produit. Cette transformation sert à simplifier des expressions littérales, à faciliter certains calculs et à résoudre des équations.
Le cours
Factoriser une expression, c’est l’écrire sous la forme d’un produit. Pour une différence de deux carrés, on utilise l’identité remarquable : A² − B² = (A − B)(A + B). Les lettres A et B peuvent représenter des nombres, des lettres ou des expressions entières.
Avant d’appliquer cette formule, vérifie que l’expression est une soustraction et que chacun des deux termes est un carré. Repère alors A et B : ce sont les expressions qui, élevées au carré, donnent les deux termes de la différence.
Écris ensuite deux facteurs : la différence (A − B), puis la somme (A + B). Garde les mêmes expressions A et B dans les deux facteurs. Si A ou B contient plusieurs termes, conserve des parenthèses autour de cette expression pour éviter les erreurs de signe.
Lorsqu’un terme contient un coefficient, il faut reconnaître le carré du coefficient et celui de la partie littérale. Par exemple, 25x² = (5x)² : l’expression à utiliser dans les facteurs est donc 5x, et non 25x. Plus généralement, (kx)² = k²x².
On peut vérifier la formule en développant : (A − B)(A + B) = A² + AB − AB − B² = A² − B². Les deux termes AB et −AB s’annulent. Attention : cette formule ne s’applique pas à une somme A² + B².
Des exemples
Factorise x^2 − 11^2.
On calcule 11^2 = 121 : l’expression peut donc aussi s’écrire x^2 − 121. On reconnaît une différence de carrés avec A = x et B = 11. On obtient (x − 11)(x + 11).
Factorise 13^2x^2 − y^2.
Comme 13^2 = 169, le premier terme est 169x^2, c’est-à-dire (13x)^2. On reconnaît donc A = 13x et B = y. La factorisation est (13x − y)(13x + y). Il faut bien utiliser 13x dans les facteurs, et non 169x.
Factorise (x + 17)^2 − 17^2.
Le carré numérique vaut 17^2 = 289. On garde l’autre carré sous sa forme initiale : A = x + 17 et B = 17. La formule donne ((x + 17) − 17)((x + 17) + 17). Dans le premier facteur, les termes constants s’annulent : on peut donc écrire x(x + 17 + 17).
À retenir
- La formule : A² − B² = (A − B)(A + B).
- Repère les expressions A et B avant d’écrire les facteurs.
- Dans les facteurs, utilise A et B, pas leurs carrés.
- Un coefficient peut lui aussi être un carré : k²x² = (kx)².
- Conserve les parenthèses lorsqu’une expression contient plusieurs termes.
- Pour vérifier une factorisation, développe le produit obtenu.
Les mots de la leçon
- Factoriser
- Transformer une expression en un produit de facteurs.
- Facteur
- Chacun des nombres ou chacune des expressions que l’on multiplie dans un produit.
- Différence de deux carrés
- Expression obtenue en soustrayant un carré à un autre carré, de la forme A² − B².
- Identité remarquable
- Égalité toujours vraie, quelles que soient les valeurs des lettres, qui permet notamment de développer ou de factoriser certaines expressions.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeDans 25x² − 49, tu peux reconnaître les carrés de 5x et de 7. L'expression s'écrit donc (5x − 7)(5x + 7) : factoriser, c'est transformer une somme ou une différence en produit. La règle est A² − B² = (A − B)(A + B).
Factorise 36x² − 121.
- Écris 36x² − 121 = (6x)² − 11².Le premier terme est le carré de 6x, et le second est le carré de 11.
- Repère A = 6x et B = 11.Le coefficient fait partie de l'expression élevée au carré : ici, A est 6x, pas seulement x.
- Écris 36x² − 121 = (6x − 11)(6x + 11).Une différence de deux carrés devient le produit de leur différence par leur somme.
- Vérifie en développant : (6x − 11)(6x + 11) = 36x² + 66x − 66x − 121.Les termes opposés s'annulent : tu retrouves bien l'expression de départ.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Reconnaître une expression de la forme A² − B² et l’écrire sous la forme (A − B)(A + B), y compris lorsque A ou B contient un coefficient.
- Au programme
- 3e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 15 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers