Étudier une conjecture à partir d’un modèle algébrique

Un modèle algébrique permet de traduire une situation par des expressions contenant des lettres. On l’utilise pour étudier une conjecture : déterminer si une affirmation est vraie grâce à une preuve, ou montrer qu’elle est fausse grâce à un contre-exemple.

Le cours

1. Pour construire un modèle, choisis une lettre et précise ce qu’elle représente, avec son unité si nécessaire. Traduis ensuite les informations de l’énoncé par des expressions littérales, une égalité ou une inégalité. Une même lettre représente toujours la même quantité dans tout le raisonnement.

2. Précise les valeurs admissibles : ce sont les valeurs autorisées par la situation et par les calculs. Un nombre d’objets est un entier positif ou nul ; une longueur est strictement positive ; un dénominateur ne peut pas être nul. Une valeur obtenue par le calcul n’est une solution du problème que si elle est admissible.

3. Une conjecture est une affirmation dont on cherche à savoir si elle est vraie. Commence par la traduire avec le modèle et repère sa portée : concerne-t-elle toutes les valeurs admissibles, ou seulement l’existence d’une valeur particulière ? Des essais numériques peuvent aider à comprendre la situation, mais plusieurs essais réussis ne prouvent pas une affirmation portant sur toutes les valeurs.

4. Pour prouver qu’une affirmation est vraie pour toutes les valeurs admissibles, raisonne avec une lettre représentant une valeur quelconque. Utilise des égalités justifiées : développement, réduction, factorisation ou comparaison des expressions. Par exemple, montrer que la différence de deux expressions est nulle prouve leur égalité ; montrer qu’elle est positive ou nulle permet de les comparer.

5. Pour réfuter une affirmation portant sur toutes les valeurs admissibles, un seul contre-exemple suffit : choisis une valeur autorisée, effectue les calculs et montre que l’affirmation échoue. Si tu résous une équation pour étudier une conjecture, vérifie ensuite que les solutions conviennent à la situation. Termine toujours par une conclusion qui répond précisément à la conjecture.

Des exemples

• Un atelier achète 7 carnets pour une salle et 13 carnets pour une autre, tous au même prix unitaire x euros. On conjecture que le coût total est égal à (7 + 13) × x euros, quel que soit le prix unitaire positif ou nul. Construis le modèle et étudie cette conjecture.

  La lettre x représente le prix d’un carnet en euros ; ses valeurs admissibles sont les nombres positifs ou nuls. Le coût total est 7x + 13x. Par distributivité, 7x + 13x = (7 + 13)x = 20x. Cette égalité est vraie pour toute valeur admissible de x : la conjecture est donc prouvée, et pas seulement vérifiée sur quelques prix.

• On conjecture que, pour tout nombre réel x, on a x^2 ≥ x. Étudie cette affirmation en prenant x = 0,7.

  Le nombre 0,7 est admissible puisque la conjecture concerne tous les nombres réels. Pour cette valeur, x^2 = 49/100. Or 49/100 < 0,7 : l’inégalité annoncée n’est donc pas respectée. La valeur 0,7 est un contre-exemple, ce qui suffit à réfuter la conjecture.

• Une salle propose un tarif A : 24 euros d’inscription puis 9 euros par séance. Le tarif B demande 51 euros d’inscription puis 6 euros par séance. On conjecture qu’il existe un nombre entier de séances pour lequel les coûts sont égaux. Étudie cette conjecture.

  On note n le nombre de séances : n doit être un entier positif ou nul. Les coûts, en euros, sont A(n) = 9n + 24 et B(n) = 6n + 51. Ils sont égaux exactement lorsque 9n + 24 = 6n + 51, soit (9 − 6)n = 51 − 24. La résolution donne n = 9. Cette valeur est un entier positif ou nul : elle est admissible. La conjecture est donc vraie, et les tarifs sont égaux uniquement pour 9 séances.