Mathématiques · 3e · environ 20 min
Établir et utiliser l’identité de la différence de deux carrés
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Dessine un carré de côté a et retire, dans son coin supérieur droit, un carré de côté b. La surface restante vaut a² − b². Découpe cette surface en une bande horizontale de dimensions a et a − b, et une bande verticale de dimensions b et a − b. Tourne la bande verticale et place-la à côté de l’autre : tu obtiens un rectangle de côtés a − b et a + b. Son aire vaut donc (a − b)(a + b).
Ce découpage utilise des longueurs avec a > b > 0. L’identité algébrique reste vraie pour tous les nombres réels a et b.
Sans apprendre le résultat par cœur, développe (a − b)(a + b). Tu obtiens les quatre termes a², +ab, −ab et −b². Les deux termes du milieu sont opposés : leur somme est nulle. Il reste a² − b². C’est cette annulation qui explique l’identité.
Les deux parenthèses doivent contenir les mêmes termes, avec un signe moins dans l’une et un signe plus dans l’autre. Sinon, les termes du milieu ne s’annulent pas forcément.
Pour factoriser une expression, vérifie d’abord qu’il s’agit d’une soustraction. Cherche ensuite ce qui est élevé au carré dans chaque terme. Par exemple, dans p² − (qr)², les deux éléments sont p et qr. Construis alors une parenthèse avec leur différence et une autre avec leur somme : (p − qr)(p + qr). Pour vérifier, développe ton produit.
Cette transformation s’applique à une différence de carrés, pas directement à une somme de carrés. Si un carré porte sur un produit ou une expression entière, conserve cet ensemble.
Les pièges
Écrire a² − b² = (a − b)².
Tu as reconnu les deux carrés. Pour terminer la factorisation, écris deux parenthèses différentes : l’une avec la différence, l’autre avec la somme.
Écrire (a − b)(a + b) = a² + b².
Reprends seulement le dernier produit et suis son signe. Les termes en ab s’annulent, mais le signe moins devant b² reste.
Appliquer directement cette identité à a² + b².
Avant de factoriser, regarde le signe entre les deux carrés. Avec un signe plus, cette identité ne s’applique pas directement.
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2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
L’identité de la différence de deux carrés permet de transformer certains produits en différences, et certaines différences en produits. On l’utilise pour développer ou factoriser une expression, mais aussi pour simplifier un calcul numérique.
Le cours
Pour établir cette identité, on développe avec la double distributivité : (a − b)(a + b) = a × a + a × b − b × a − b × b = a² + ab − ab − b². Les termes ab et −ab s’annulent. On obtient donc (a − b)(a + b) = a² − b², pour tous les nombres a et b.
L’égalité a² − b² = (a − b)(a + b) est une identité remarquable. Elle se lit dans les deux sens : développer, c’est passer du produit (a − b)(a + b) à la différence a² − b² ; factoriser, c’est passer de la différence a² − b² au produit (a − b)(a + b).
Pour développer avec cette identité, on vérifie que les deux facteurs contiennent les mêmes termes, avec un signe moins dans l’un et un signe plus dans l’autre. On repère a et b, puis on calcule leurs carrés. Par exemple : (3x − 5)(3x + 5) = (3x)² − 5² = 9x² − 25. Attention : (3x)² = 3² × x² = 9x², et non 3x².
Pour factoriser, on cherche une différence de deux carrés. Par exemple, dans 49x² − 16, on reconnaît (7x)² − 4². On obtient donc 49x² − 16 = (7x − 4)(7x + 4). Il faut identifier les expressions dont on prend les carrés : ici, a = 7x et b = 4.
Avant d’utiliser l’identité, vérifie la forme de l’expression. Une somme a² + b² n’est pas une différence de deux carrés : elle ne se transforme pas en (a − b)(a + b). De même, (a − b)(a − b) n’a pas la forme attendue. Pour contrôler une factorisation, tu peux développer le produit obtenu et vérifier que tu retrouves l’expression de départ.
Des exemples
Développe et réduis (x − 17)(x + 17).
Les facteurs contiennent les mêmes termes, avec des signes opposés devant 17. L’identité donne (x − 17)(x + 17) = x^2 − 17^2. Comme 17^2 = 289, l’expression développée et réduite est x^2 − 289.
Factorise 169 − 36 à l’aide de l’identité de la différence de deux carrés, puis calcule sa valeur.
Les nombres 169 et 36 sont des carrés parfaits. Leurs racines carrées permettent d’écrire 169 − 36 = (√169 − √36)(√169 + √36). On a bien transformé la différence en produit. La valeur de cette expression est 133.
Calcule 58 × 62 en utilisant l’identité de la différence de deux carrés.
On appelle m la moyenne de 58 et 62, et d la moitié de leur différence, prise positivement. Ainsi, 58 = m − d et 62 = m + d. L’identité donne alors 58 × 62 = m² − d² : il suffit de soustraire le carré de l’écart au carré de la moyenne. On obtient 3596.
À retenir
- Identité : a² − b² = (a − b)(a + b).
- Pour développer : le produit d’une différence et d’une somme devient une différence de carrés.
- Pour factoriser : repère les deux carrés séparés par un signe moins.
- Les mêmes termes doivent apparaître dans les deux facteurs, avec un signe moins puis un signe plus.
- Le carré d’un produit porte sur chaque facteur : (kx)² = k²x².
- Vérifie une factorisation en développant le produit obtenu.
Les mots de la leçon
- Identité remarquable
- Égalité vraie pour toutes les valeurs des lettres, dont la forme permet de développer ou de factoriser certaines expressions.
- Développer
- Transformer un produit en une somme ou une différence.
- Factoriser
- Transformer une somme ou une différence en un produit.
- Carré parfait
- Nombre entier qui est le carré d’un nombre entier.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeDéveloppe : (a − b)(a + b) = a² + ab − ab − b². Les termes +ab et −ab s’annulent : on obtient donc a² − b² = (a − b)(a + b). Tu peux lire cette égalité dans les deux sens : pour développer un produit ou pour factoriser une différence de carrés.
Développe et réduis (x − t)(x + t), puis utilise le résultat pour factoriser x² − t².
- (x − t)(x + t) = x × x + x × t − t × x − t × t.Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde. Le signe moins devant t doit être conservé.
- On obtient x² + xt − tx − t².Multiplier un nombre par lui-même donne son carré.
- Comme xt = tx, les termes +xt et −tx s’annulent. Il reste x² − t².Un terme et son opposé ont une somme nulle.
- Dans l’autre sens, x² − t² = (x − t)(x + t).La même égalité permet de transformer une différence de carrés en produit.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Développer (a − b)(a + b) pour établir a² − b² = (a − b)(a + b), puis utiliser cette identité pour développer ou factoriser des expressions.
- Au programme
- 3e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 20 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers