Mathématiques · 3e · environ 15 min

Écrire un nombre pair ou impair sous forme littérale

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S'entraîner : une série dédiée, en paliers Rituel : Calcul mental

Explique-moi autrement

Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.

Imagine deux rangées contenant chacune n points. Elles contiennent ensemble n + n, soit 2n points : le total est pair. Ajoute un point à côté des rangées : le total devient 2n + 1, donc impair.

Un dessin de points représente directement les entiers positifs ou nuls. Les écritures 2n et 2n + 1 restent valables pour les entiers négatifs, même si ce dessin ne les représente pas.

Les pièges

Écrire n + 2 pour représenter un entier pair quelconque.
Tu as ajouté deux au lieu de multiplier par deux. Pour garantir un entier pair, écris 2n avec n entier.
Oublier de préciser que n est entier.
Ton expression a la bonne forme. Ajoute « avec n entier » pour préciser les valeurs autorisées.
Penser que 2n + 1 ne représente que les entiers impairs positifs.
L’écriture reste valable pour les entiers négatifs : on demande seulement que n soit entier, pas qu’il soit positif.

Je me teste

2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.

La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer

La leçon

Ce qu'il faut savoir

Écrire un nombre pair ou impair avec une lettre permet de parler de tous les nombres d’une même catégorie, sans en choisir un en particulier. Ces écritures servent notamment à expliquer pourquoi un résultat est toujours pair ou toujours impair.

Le cours

Un entier est un nombre sans partie décimale : il peut être positif, négatif ou nul. Un entier pair est divisible par 2 : le reste de sa division euclidienne par 2 est nul. Un entier impair n’est pas divisible par 2 : le reste de sa division euclidienne par 2 est 1.
Tout entier pair peut s’écrire 2n, où n est un entier. L’écriture 2n signifie « 2 multiplié par n ». Réciproquement, quel que soit l’entier choisi pour n, le nombre 2n est pair. Par exemple, 0 = 2 × 0 et −12 = 2 × (−6) sont pairs.
Tout entier impair peut s’écrire 2n + 1, où n est un entier : c’est le nombre qui suit le nombre pair 2n. Réciproquement, quel que soit l’entier choisi pour n, le nombre 2n + 1 est impair. Par exemple, −7 = 2 × (−4) + 1 est impair.
Pour désigner un nombre pair quelconque, on écrit donc « 2n, avec n entier » ; pour désigner un nombre impair quelconque, on écrit « 2n + 1, avec n entier ». La précision « n entier » est indispensable : si n pouvait être décimal, ces expressions ne représenteraient pas forcément des entiers de la catégorie annoncée.
La lettre n n’est pas imposée : on peut aussi écrire 2k ou 2k + 1, avec k entier. Attention : avec le même entier n, les écritures 2n et 2n + 1 désignent deux nombres consécutifs. Pour désigner deux nombres pairs sans imposer de lien entre eux, on utilise deux lettres : 2n et 2m, avec n et m entiers.

Des exemples

Dans l’écriture d’un nombre pair 2n, prends n = 38. Quel nombre obtiens-tu ?
On remplace n par 38 : 2 × 38 = 76. Le résultat est pair, car c’est le double d’un entier.
Dans l’écriture d’un nombre pair 2n, prends n = -27. Quel nombre obtiens-tu ?
On remplace n par -27 : 2 × (-27) = -54. Un entier négatif peut lui aussi être pair : ici, le résultat est bien le double d’un entier.
Le nombre 94 est pair. Ajoute-lui 1 pour obtenir le nombre qui le suit. Ce nombre est-il pair ou impair ?
94 + 1 = 95. Puisque 94 est le double d’un entier, lui ajouter 1 donne un nombre impair. C’est le principe de l’écriture d’un entier impair : le double d’un entier auquel on ajoute 1.

À retenir

Un entier pair quelconque s’écrit 2n, avec n entier.
Un entier impair quelconque s’écrit 2n + 1, avec n entier.
2n signifie 2 × n.
Ces écritures conviennent aussi aux entiers négatifs ; zéro est pair.
Avec le même n, 2n et 2n + 1 sont deux nombres consécutifs.

Les mots de la leçon

Entier: Nombre sans partie décimale, positif, négatif ou nul.
Nombre pair: Entier divisible par 2, qui peut donc s’écrire comme le double d’un entier.
Nombre impair: Entier qui n’est pas divisible par 2 et qui peut s’écrire comme le double d’un entier augmenté de 1.
Expression littérale: Expression mathématique contenant une ou plusieurs lettres qui représentent des nombres.

Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape

RegardeUn entier pair peut être réparti en deux groupes de même taille : il s’écrit 2n, avec n entier. Un entier impair laisse un élément à part après cette répartition : il s’écrit 2n + 1. Ces écritures décrivent tous les entiers pairs ou impairs, y compris les entiers négatifs.

Écris un entier pair quelconque, puis l’entier impair qui le suit.

On choisit une lettre, n, pour représenter un entier quelconque.La lettre permet de décrire toute une famille de nombres sans choisir un nombre particulier.
On écrit l’entier pair sous la forme 2n.Le double d’un entier est toujours pair. Réciproquement, tout entier pair est le double d’un entier.
On écrit l’entier suivant sous la forme 2n + 1.Ajouter un à un entier pair donne un entier impair.

Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider

Ce que votre enfant apprend: Représenter un entier pair par 2n et un entier impair par 2n + 1, avec n entier, et utiliser ces écritures pour décrire des nombres quelconques de chaque catégorie.
Au programme: 3e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
Combien de temps: Environ 15 minutes, en une fois ou en plusieurs.

Comment l'accompagner

Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.

Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers