Développer et factoriser avec les trois identités remarquables

Les identités remarquables permettent de développer ou de factoriser certaines expressions sans effectuer tous les produits. On les utilise pour transformer une expression, simplifier un calcul ou préparer la résolution d’une équation.

Le cours

1. Développer, c’est transformer un produit en une somme ou une différence. Factoriser, c’est faire l’inverse : transformer une somme ou une différence en un produit. Les trois identités remarquables sont des égalités vraies pour tous les nombres a et b ; elles se lisent donc dans les deux sens.

2. Le carré d’une somme : (a + b)² = a² + 2ab + b². Pour développer, on additionne les carrés des deux termes et le double de leur produit. Pour factoriser a² + 2ab + b², on reconnaît les deux carrés et on vérifie que le terme du milieu est bien le double du produit : on obtient alors (a + b)².

3. Le carré d’une différence : (a − b)² = a² − 2ab + b². Pour développer, on écrit le carré du premier terme, moins le double du produit, plus le carré du second terme. Pour factoriser a² − 2ab + b², on effectue les mêmes vérifications : on obtient (a − b)². Attention : le dernier terme est positif, même si la parenthèse contient une soustraction.

4. Le produit d’une différence par une somme : (a − b)(a + b) = a² − b². Les deux parenthèses doivent contenir les mêmes termes, avec une soustraction dans l’une et une addition dans l’autre. Dans l’autre sens, une différence de deux carrés se factorise ainsi : a² − b² = (a − b)(a + b). Une somme de deux carrés ne se factorise pas avec cette identité.

5. Avant de choisir une identité, repère précisément les expressions qui jouent les rôles de a et de b : ce peut être des nombres, des lettres ou des expressions comme 3x. Par exemple, le carré de 3x est 9x² : on élève au carré le coefficient et la lettre. Pour factoriser une expression à trois termes, reconnaître deux carrés ne suffit pas : il faut aussi vérifier le double produit. Enfin, ne confonds pas (a + b)² avec a² + b² : le terme 2ab ne doit pas disparaître.

Des exemples

• Développe et réduis (x + 13)^2.

  On reconnaît le carré d’une somme, avec a = x et b = 13. Le carré de 13 vaut 169. Le double produit s’écrit (13 + 13)x. Ainsi, (x + 13)^2 = x^2 + (13 + 13)x + 169. Il reste à additionner les coefficients entre parenthèses pour obtenir l’expression réduite.

• Développe (x − 17)^2.

  On reconnaît le carré d’une différence, avec a = x et b = 17. Le carré de 17 vaut 289. On soustrait le double produit, mais on ajoute le carré du second terme : (x − 17)^2 = x^2 − (17 + 17)x + 289.

• Développe (x − 23)(x + 23).

  Les nombres 23 et 23 sont égaux : les deux parenthèses contiennent donc les mêmes termes, avec des signes différents. On utilise le produit d’une différence par une somme. Comme 23 × 23 = 529, on obtient le carré de x moins 529. Les termes en x s’annulent.

• Factorise 29^2x^2 − y^2.

  Comme 29^2 = 841, l’expression s’écrit 841x^2 − y^2. On reconnaît une différence de deux carrés : le premier est celui de 29x et le second est celui de y. On prend donc a = 29x et b = y. La forme factorisée est (29x − y)(29x + y).