Mathématiques · 3e · environ 20 min
Démontrer un résultat de divisibilité par le calcul littéral
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Imagine trois colonnes de jetons de hauteurs m − 1, m et m + 1. Déplace un jeton de la colonne la plus haute vers la plus basse : les trois colonnes ont maintenant la hauteur m. Aucun jeton n’a été ajouté ni retiré. Cela représente l’égalité (m − 1) + m + (m + 1) = 3m.
Les colonnes de jetons représentent directement des entiers positifs ou nuls. Pour inclure les entiers négatifs, utilise l’égalité littérale plutôt que des hauteurs.
Choisis une lettre pour le premier entier. Écris les suivants en ajoutant successivement un. Additionne toutes les expressions, regroupe les termes contenant la lettre et les constantes, puis cherche un facteur commun. Termine en précisant que le facteur restant est un entier : c’est cette dernière phrase qui justifie la divisibilité.
La conclusion porte seulement sur le diviseur effectivement mis en facteur. Une lettre doit représenter un entier pour que cette justification fonctionne.
Vérifier une somme particulière montre seulement que la propriété fonctionne dans ce cas. Même plusieurs essais ne couvrent pas tous les entiers. À l’inverse, écrire (m − 1) + m + (m + 1) = 3m avec m entier prouve la propriété pour n’importe quel entier du milieu.
Un exemple peut aider à comprendre ou permettre de réfuter une affirmation fausse, mais il ne suffit pas à démontrer une affirmation sur tous les entiers.
Les pièges
Écrire n, n + 1 et n + 3 pour représenter trois entiers consécutifs.
Pars de n et avance d’un entier à chaque fois. Vérifie chaque écart avant de calculer la somme.
Transformer n + (n + 1) + (n + 2) en 3n + 2.
Regroupe séparément les termes contenant n et les constantes. Garde chaque terme visible jusqu’à son regroupement.
Conclure après quelques essais numériques.
Tes essais donnent une piste. Pour prouver que cela fonctionne toujours, remplace le premier entier par une lettre et fais apparaître un facteur commun.
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2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Le calcul littéral permet de démontrer qu'une somme est divisible par un nombre, quels que soient les entiers choisis. On l'utilise pour prouver une propriété générale, et pas seulement la vérifier sur quelques exemples.
Le cours
Un entier A est divisible par un entier non nul d lorsqu'il existe un entier k tel que A = d × k. Pour démontrer une divisibilité par le calcul littéral, on cherche donc à écrire l'expression étudiée sous cette forme.
Deux entiers consécutifs se suivent avec un écart de 1. Si n désigne un entier quelconque, les trois entiers consécutifs qui commencent par n s'écrivent n, n + 1 et n + 2. La lettre n doit représenter le même entier pendant tout le calcul.
La somme de ces trois entiers est S = n + (n + 1) + (n + 2). En regroupant les termes, on obtient S = 3n + 3. On factorise ensuite par 3 : S = 3(n + 1). Comme n est entier, n + 1 est aussi entier. Ainsi, S est le produit de 3 par un entier : la somme de trois entiers consécutifs est donc toujours divisible par 3.
On peut aussi choisir la lettre n pour représenter l'entier du milieu. Les trois entiers sont alors n − 1, n et n + 1. Leur somme vaut (n − 1) + n + (n + 1) = 3n. Elle est donc égale à trois fois l'entier du milieu. Cette démonstration reste valable lorsque les entiers sont négatifs.
Pour rédiger une démonstration, précise ce que représente la lettre, écris l'expression à étudier, transforme-la en un produit et explique pourquoi le facteur obtenu est entier. Termine par une phrase de conclusion. Quelques calculs numériques peuvent illustrer le résultat, mais ils ne suffisent pas à prouver qu'il est toujours vrai.
Des exemples
Calcule la somme de 3 entiers consécutifs dont l'entier du milieu est 28, puis justifie qu'elle est divisible par 3.
La démonstration du cours établit que cette somme est égale au produit du nombre d'entiers par l'entier du milieu. Elle vaut donc 3 × 28 = 84. Comme 28 est un entier, cette écriture prouve que la somme est divisible par 3.
On considère 3 entiers consécutifs dont l'entier du milieu est -17. Calcule leur somme et explique pourquoi elle reste divisible par 3.
La propriété reste vraie avec des entiers négatifs : la somme est égale à 3 × (-17), soit -51. Le facteur -17 est bien un entier, même s'il est négatif. La somme est donc divisible par 3.
À retenir
- Trois entiers consécutifs peuvent s'écrire n, n + 1 et n + 2, avec n entier.
- Pour prouver une divisibilité par d, écris l'expression sous la forme d × k, avec k entier.
- n + (n + 1) + (n + 2) = 3(n + 1).
- La somme de trois entiers consécutifs est toujours divisible par 3.
- Cette somme vaut trois fois l'entier du milieu.
- Une vérification numérique illustre une propriété ; un calcul avec un entier quelconque permet de la démontrer.
Les mots de la leçon
- Entiers consécutifs
- Entiers qui se suivent dans l'ordre, avec un écart de 1 entre chacun et le suivant.
- Multiple
- Un entier A est un multiple d'un entier d s'il peut s'écrire A = d × k, avec k entier.
- Factoriser
- Transformer une somme ou une différence en un produit.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeSi n est un entier, les trois entiers consécutifs qui le suivent à partir de lui s’écrivent n, n + 1 et n + 2. Leur somme vaut n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1) : c’est trois fois un entier, donc elle est divisible par trois.
Démontre que la somme de trois entiers consécutifs est toujours divisible par trois.
- Appelle n le plus petit des trois entiers. Les suivants sont n + 1 et n + 2.Deux entiers consécutifs ont un écart de un. La lettre permet de traiter tous les cas à la fois.
- Écris leur somme : S = n + (n + 1) + (n + 2).Il faut additionner les trois entiers, avec tous leurs termes.
- Regroupe : S = 3n + 3.La lettre n apparaît trois fois et les termes constants s’additionnent.
- Factorise : S = 3(n + 1).Les deux termes ont le facteur trois en commun.
- Comme n + 1 est un entier, S est divisible par trois.Un nombre divisible par trois peut s’écrire comme le produit de trois par un entier.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Représenter des entiers consécutifs avec une lettre et factoriser leur somme pour prouver une divisibilité, notamment celle de la somme de trois entiers consécutifs par trois.
- Au programme
- 3e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 20 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers