Mathématiques · 3e · environ 25 min

Démontrer l’invariance d’un quotient par multiplication

Je m'entraîne

S'entraîner : une série dédiée, en paliers Rituel : Calcul mental

Explique-moi autrement

Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.

Dessine une bande de longueur a et une bande de longueur b, avec des longueurs positives. Le quotient a/b indique combien de fois la bande b tient dans la bande a, quitte à utiliser une partie de bande. Agrandis les deux bandes avec le même réglage : chaque morceau de la petite bande et chaque morceau de la grande sont agrandis ensemble. Le nombre de bandes nécessaires reste le même. Cela donne une image concrète de l’invariance du quotient.

Cette manipulation illustre seulement des longueurs et un facteur positifs. Elle ne remplace pas la démonstration pour des nombres négatifs.

Les pièges

Multiplier seulement le numérateur ou seulement le dénominateur.
Repère le facteur utilisé en haut, puis vérifie que tu retrouves le même en bas.
Autoriser un facteur nul.
Avant de transformer la fraction, vérifie que le dénominateur et le facteur sont non nuls.
Utiliser directement la propriété de simplification pour la démontrer.
Repars de q = a/b, donc bq = a, puis calcule (kb)q sans simplifier de fraction.

Je me teste

2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.

La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer

La leçon

Ce qu'il faut savoir

Multiplier le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même nombre non nul ne change pas sa valeur. Cette propriété permet notamment de transformer des fractions pour les comparer ou les écrire avec un même dénominateur.

Le cours

Définition du quotient : si b ≠ 0, le quotient a/b est l’unique nombre q tel que b × q = a. Autrement dit, a/b est le nombre qui, multiplié par b, donne a.
Propriété à démontrer : pour tous nombres a, b et k tels que b ≠ 0 et k ≠ 0, on a (k × a)/(k × b) = a/b. Le même facteur k doit multiplier le numérateur et le dénominateur. Il peut être positif ou négatif, mais jamais nul.
Démonstration : posons q = a/b. D’après la définition du quotient, b × q = a. En multipliant les deux membres de cette égalité par k, on obtient k × (b × q) = k × a. En regroupant les facteurs du produit, cela donne (k × b) × q = k × a.
Puisque k et b sont non nuls, leur produit k × b est non nul. L’égalité précédente montre donc que q est le quotient de k × a par k × b. Ainsi, (k × a)/(k × b) = q = a/b : la propriété est démontrée.
On peut lire cette égalité dans les deux sens : multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul conserve le quotient ; diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul le conserve aussi. Cela permet d’obtenir une fraction équivalente ou de simplifier une fraction. En revanche, ajouter un même nombre au numérateur et au dénominateur ne conserve pas le quotient en général.

Des exemples

Démontre que les quotients 11/19 et 77/133 sont égaux en utilisant la définition du quotient.
Le numérateur et le dénominateur ont été multipliés par le même facteur non nul : 77/11 = 133/19. Posons q = 11/19 : alors 19 × q = 11. En multipliant cette égalité par 77/11, on obtient 133 × q = 77. Par définition du quotient, q = 77/133. Les deux quotients sont donc égaux.
Démontre que les quotients (-13)/23 et 65/(-115) sont égaux, même si le facteur utilisé est négatif.
Le facteur commun est 65/(-13) = -115/23 : il est négatif et non nul. Posons q = (-13)/23. Par définition, 23 × q = -13. En multipliant les deux membres par 65/(-13), on obtient (-115) × q = 65. Comme -115 est non nul, q = 65/(-115). Multiplier le numérateur et le dénominateur par un même facteur négatif conserve donc aussi le quotient.

À retenir

Définition : q = a/b signifie b × q = a, avec b ≠ 0.
Pour démontrer la propriété, on pose q = a/b, puis on établit (k × b) × q = k × a.
Comme k × b ≠ 0, la définition du quotient donne q = (k × a)/(k × b).
Multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul conserve le quotient.
Le facteur commun peut être négatif, mais il ne peut pas être nul.
Des exemples illustrent une propriété ; le calcul avec les lettres la démontre pour tous les nombres autorisés.

Les mots de la leçon

Quotient: Pour b non nul, le quotient de a par b est l’unique nombre qui, multiplié par b, donne a. Il se note a/b.
Numérateur: Nombre placé au-dessus de la barre de fraction : dans a/b, c’est a.
Dénominateur: Nombre placé au-dessous de la barre de fraction : dans a/b, c’est b. Il doit être non nul.
Invariance: Fait qu’une valeur ne change pas lorsqu’on effectue une transformation donnée.

Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape

RegardeUn quotient est le nombre qui, multiplié par le dénominateur, redonne le numérateur : si q = a/b avec b non nul, alors bq = a. Pour k non nul, (kb)q = k(bq) = ka ; comme kb est non nul, q est donc aussi le quotient de ka par kb, ce qui démontre (ka)/(kb) = a/b.

Démontre que multiplier le numérateur et le dénominateur d’un quotient par un même nombre non nul ne change pas ce quotient.

On prend des nombres a, b et k, avec b et k non nuls, puis on pose q = a/b.Le dénominateur doit être non nul pour que le quotient soit défini.
On écrit bq = a.C’est la définition du quotient a/b.
On calcule (kb)q = k(bq) = ka.On peut regrouper les facteurs autrement, puis remplacer bq par a.
Le produit kb est non nul.Un produit de deux nombres non nuls est non nul.
On en déduit q = (ka)/(kb), donc (ka)/(kb) = a/b.Le nombre q, multiplié par kb, donne ka : c’est donc le quotient de ka par kb.

Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider

Ce que votre enfant apprend: Pour b et k non nuls, poser q = a/b, établir (kb)q = ka et utiliser la définition du quotient pour démontrer que (ka)/(kb) = a/b.
Au programme: 3e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
Combien de temps: Environ 25 minutes, en une fois ou en plusieurs.

Comment l'accompagner

Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.

Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers