Mathématiques · 3e · environ 15 min
Automatiser la résolution de ax = b et a + x = b
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Dessine une flèche de x vers b. Pour a × x = b, écris « × a » sur la flèche aller et « ÷ a » sur la flèche retour : en revenant de b vers x, tu obtiens b / a. Pour a + x = b, écris « + a » à l'aller et « − a » au retour : tu obtiens b − a.
Le retour par une division n'est possible que si a est non nul. Ce dessin s'utilise directement lorsque x subit une seule opération.
Représente une égalité avec deux zones sur une feuille. Pour a + x = b, place une carte « a » et une carte « x » à gauche, et une carte « b » à droite. Ajoute une carte « −a » dans chaque zone : à gauche, a et −a s'annulent, et x reste seul. Pour a × x = b avec a entier positif, représente a paquets identiques à gauche et la quantité b à droite, puis partage chaque côté en a parts égales.
Les paquets concrets représentent facilement un coefficient entier positif. Pour un coefficient négatif ou fractionnaire, utilise plutôt la flèche retour ou les opérations écrites.
Pour a × x = b, compare les propositions x = b / a et x = b − a en les remplaçant dans l'équation initiale. La première donne a × (b / a) = b. Pour a + x = b, teste de même x = b − a : a + (b − a) = b. Ne te fie pas seulement à l'apparence d'une réponse : vérifie l'égalité.
Une mauvaise méthode peut donner par hasard la bonne réponse avec certaines valeurs. La vérification valide une solution donnée ; elle ne rend pas correcte une règle de calcul erronée.
Les pièges
Soustraire a pour résoudre a × x = b.
Regarde le lien entre a et x : ils sont multipliés. Pour retrouver x, divise les deux côtés par a, qui doit être non nul.
Diviser par a pour résoudre a + x = b.
Repère le signe + : retire a des deux côtés, puis remplace x dans l'équation de départ.
Perdre le signe négatif d'un coefficient ou d'un terme ajouté.
Recopie le nombre avec son signe, entre parenthèses si nécessaire. Soustraire un nombre négatif revient à ajouter son opposé.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Résoudre une équation permet de trouver un nombre inconnu à partir d’une égalité. Pour les équations de la forme ax = b ou a + x = b, une seule opération suffit pour trouver ce nombre.
Le cours
Une équation est une égalité contenant une inconnue, souvent notée x. La résoudre, c’est trouver toutes les valeurs de x qui rendent l’égalité vraie. Dans ax = b, l’écriture ax signifie a × x.
Pour conserver une égalité vraie, on effectue la même opération sur ses deux membres, c’est-à-dire de chaque côté du signe =. Le but est d’obtenir x seul dans un membre.
Pour résoudre ax = b lorsque a est non nul, on divise les deux membres par a : ax ÷ a = b ÷ a, donc x = b/a. Cette règle s’applique aussi lorsque a ou b est négatif. Si le quotient n’a pas d’écriture décimale exacte, on conserve une fraction exacte, simplifiée si possible. On ne divise jamais par zéro.
Pour résoudre a + x = b, on soustrait a aux deux membres : a + x − a = b − a, donc x = b − a. Si a est négatif, soustraire a revient à ajouter son opposé. Attention à ne pas inverser l’ordre de la soustraction : on calcule b − a, et non a − b.
On écrit la solution sous la forme x = …, puis on la vérifie dans l’équation initiale : on remplace x par la valeur trouvée et on calcule. Les deux membres doivent être égaux. Si ce n’est pas le cas, on reprend le choix de l’opération, les signes et le calcul.
Des exemples
Résous l’équation 7x = 91, puis vérifie la solution.
L’inconnue est multipliée par 7. On divise donc les deux membres par 7 : x = 91 ÷ 7 = 13. Vérification dans l’équation initiale : 7 × 13 = 91. L’égalité est vraie, donc la solution est x = 13.
Résous l’équation (-6) × x = 45, puis vérifie la solution.
Le nombre qui multiplie x est -6, qui est non nul. On divise les deux membres par ce nombre : x = 45 ÷ (-6) = -15/2. Vérification : (-6) × (-15/2) = 45. L’égalité initiale est vraie, donc la solution est x = -15/2.
Résous l’équation 18 + x = -11, puis vérifie la solution.
On soustrait 18 aux deux membres : x = -11 − 18 = -29. Vérification dans l’équation initiale : 18 + (-29) = -11. L’égalité est vraie, donc la solution est x = -29.
Résous l’équation (-14) + x = 23, puis vérifie la solution.
On soustrait -14 aux deux membres : x = 23 − (-14) = 37. Ici, soustraire le nombre négatif -14 revient à ajouter son opposé. Vérification : (-14) + 37 = 23. L’égalité initiale est vraie, donc la solution est x = 37.
À retenir
- ax signifie a × x.
- ax = b avec a non nul : x = b/a.
- a + x = b : x = b − a.
- Effectuer la même opération sur les deux membres.
- Garder une valeur exacte et écrire x = ….
- Vérifier en remplaçant x dans l’équation initiale.
Les mots de la leçon
- Équation
- Égalité contenant une ou plusieurs inconnues dont on cherche les valeurs qui rendent cette égalité vraie.
- Inconnue
- Nombre à déterminer, représenté par une lettre, souvent x.
- Membre
- Expression située d’un côté du signe =. Une équation possède un membre de gauche et un membre de droite.
- Solution
- Valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeDans a × x = b, avec a non nul, tu retrouves x en divisant b par a : x = b / a. Dans a + x = b, tu retrouves x en soustrayant a à b : x = b − a. Pour vérifier, remplace x par l'expression trouvée dans l'équation de départ : les deux côtés doivent être égaux.
Résous a × x = b, avec a non nul, puis a + x = b. Dans chaque cas, vérifie la solution.
- Pour a × x = b, divise les deux côtés par a : x = b / a.Diviser par a annule la multiplication par a. Cette division est possible parce que a est non nul.
- Remplace x dans l'équation initiale : a × (b / a) = b.Tu retrouves bien le membre de droite : la solution convient.
- Pour a + x = b, soustrais a aux deux côtés : x = b − a.Soustraire a annule l'ajout de a et conserve l'égalité.
- Remplace x dans l'équation initiale : a + (b − a) = b.Les termes a et −a s'annulent : la solution convient.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Choisir la division pour résoudre ax = b lorsque a est non nul et la soustraction pour résoudre a + x = b, écrire la solution et la vérifier dans l’équation initiale.
- Au programme
- 3e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 15 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers