Mathématiques · CM2 · environ 15 min
Trouver des multiples communs à deux nombres
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Trace une ligne graduée. Au-dessus, marque les nombres atteints en avançant toujours du premier nombre. En dessous, fais pareil avec le second nombre. Les positions marquées des deux côtés sont des multiples communs. Pour chercher un multiple strictement positif, ne retiens pas le départ à zéro.
La ligne doit être assez longue : ne pas voir de rencontre sur un petit morceau ne signifie pas qu'il n'existe aucun multiple commun.
Prends une quantité de jetons à vérifier. Fais des paquets de la première taille, puis défais-les. Avec exactement les mêmes jetons, fais des paquets de la seconde taille. Si aucun jeton ne reste dans les deux essais, la quantité est un multiple commun.
Il faut conserver exactement la même quantité entre les deux essais. Cette méthode devient longue avec beaucoup de jetons.
Multiplie les deux nombres. Le produit est un multiple du premier, puisque tu l'as multiplié par un entier. Il est aussi un multiple du second, puisque tu peux inverser les facteurs. Tu obtiens donc toujours un multiple commun.
Cette méthode donne un multiple commun, mais pas forcément le plus petit strictement positif. Ajouter les deux nombres ne donne pas la même garantie.
Les pièges
Vérifier que le nombre est un multiple d'un seul des deux nombres.
Ta première vérification convient. Vérifie maintenant le partage avec l'autre nombre : lui aussi doit se faire sans reste.
Additionner les deux nombres en pensant obtenir automatiquement un multiple commun.
Tu as trouvé une somme. Teste-la avec chacun des deux nombres. Pour construire directement un multiple commun, tu peux utiliser leur produit.
Croire que seul le plus petit multiple commun peut être accepté.
Relis ce qui est demandé. Si l'énoncé demande simplement un multiple commun, plusieurs nombres peuvent convenir.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Trouver des multiples communs permet de repérer des quantités qui peuvent être regroupées de plusieurs façons, sans reste. Cela sert aussi à savoir quand deux événements qui se répètent se produiront de nouveau ensemble.
Le cours
Un multiple d’un nombre est le résultat de sa multiplication par un entier positif ou nul. Par exemple, les multiples de 6 sont 0, 6, 12, 18, 24, 30… On les obtient en partant de 0 et en ajoutant 6 à chaque fois.
Un multiple commun à deux nombres est un nombre qui est à la fois un multiple de l’un et un multiple de l’autre. Par exemple, 24 est un multiple commun à 6 et à 8, car 24 = 6 × 4 et 24 = 8 × 3.
Pour trouver des multiples communs, écris les multiples de chaque nombre dans l’ordre, puis repère ceux qui apparaissent dans les deux listes. Pour 6 : 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48… Pour 8 : 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48… Les nombres 0, 24 et 48 sont présents dans les deux listes.
Pour vérifier qu’un nombre est un multiple commun, cherche une multiplication qui donne ce nombre pour chacun des deux nombres de départ. Tu peux aussi le diviser par chacun d’eux : les deux divisions doivent avoir un reste nul.
Le produit de deux nombres est toujours un multiple commun à ces deux nombres, mais ce n’est pas forcément le plus petit multiple commun non nul. Le nombre 0 est aussi un multiple commun à tous les nombres. Si la consigne demande des multiples communs non nuls, il ne faut donc pas le retenir. Pour deux nombres non nuls, on peut toujours trouver de nouveaux multiples communs en poursuivant les listes.
Des exemples
Trouve un multiple commun non nul à 7 et à 11 en calculant leur produit.
7 × 11 = 77. En changeant l’ordre des nombres, on a aussi 11 × 7 = 77. Le nombre 77 est donc à la fois un multiple de 7 et un multiple de 11.
Calcule le produit de 4 par 12 pour obtenir un multiple commun. Est-ce le plus petit multiple commun non nul ?
4 × 12 = 48 : ce résultat est bien un multiple commun. Mais 12 est déjà un multiple de 4, et c’est aussi un multiple de lui-même. Comme 12 est plus petit que 48, le produit calculé n’est pas le plus petit multiple commun non nul.
À retenir
- Un multiple commun appartient aux listes de multiples des deux nombres.
- Pour en trouver, écris les deux listes et repère les nombres identiques.
- Pour vérifier, les divisions par les deux nombres doivent avoir un reste nul.
- Le produit des deux nombres est toujours un multiple commun.
- Le produit n’est pas toujours le plus petit multiple commun non nul.
- Lis bien la consigne : 0 est un multiple commun, mais il peut être exclu.
Les mots de la leçon
- Multiple
- Nombre obtenu en multipliant un nombre par un entier positif ou nul.
- Multiple commun
- Nombre qui est un multiple de chacun des deux nombres donnés.
- Non nul
- Qui est différent de zéro.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeUn multiple commun à deux nombres peut se partager sans reste en paquets de l'un ou de l'autre nombre. Par exemple, pour vérifier une quantité, tu dois réussir les deux partages : un seul ne suffit pas.
Trente jetons peuvent-ils former des paquets de six, puis des paquets de dix, sans qu'il reste de jeton ?
- Pour les paquets de six, on peut écrire la quantité ainsi : six + six + six + six + six.Tous les jetons sont utilisés dans des paquets complets de six.
- Pour les paquets de dix, on peut écrire la même quantité ainsi : dix + dix + dix.Tous les jetons sont aussi utilisés dans des paquets complets de dix.
- Oui, trente est un multiple commun à six et à dix.La même quantité convient aux deux tailles de paquets, sans reste.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Identifier des nombres qui sont simultanément multiples de deux entiers donnés inférieurs à 15.
- Au programme
- CM2 · BO n°16 du 17 avril 2025, MENE2504620A (cycle 3, CM1/CM2/6e, français ET mathématiques) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 15 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers