Mathématiques · CE2 · environ 20 min
Construire un arbre pour compter des combinaisons de trois choix
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Réserve une colonne à chaque choix : fond, dessin, puis ficelle. Relie chaque fond à tous les dessins, puis chaque dessin à toutes les ficelles. Pour lire une solution, suis un chemin du départ jusqu'à un bout de branche. Pour compter les solutions, marque seulement les bouts de branches.
Une solution doit avoir fait tous les choix demandés. Si une association est interdite, ne dessine pas le chemin correspondant.
Prépare des cartes pour les couleurs, les formes et les rubans. Pose une couleur, puis une forme et un ruban. Dessine ce chemin sur ta feuille. Garde la couleur et la forme, puis remplace seulement le ruban jusqu'à les avoir tous essayés. Change ensuite de forme et recommence avec tous les rubans. Quand toutes les formes ont servi, change de couleur. Les cartes peuvent être réutilisées pour fabriquer les autres solutions.
Cette méthode convient quand il y a peu de cartes. Chaque carte doit représenter un choix différent ; deux cartes identiques ne créent pas deux solutions différentes.
Choisis une branche de départ. Vérifie que tous les choix suivants y sont présents, puis que chaque chemin va jusqu'au dernier choix. Fais la même vérification pour les autres branches de départ. Enfin, lis les chemins complets : si deux chemins donnent exactement les mêmes choix, tu as compté une solution deux fois.
On retrouve les mêmes choix sous chaque branche seulement lorsque toutes les associations sont autorisées. Sinon, vérifie les branches avec les règles du problème.
Les pièges
Ajouter les nombres de choix au lieu de prolonger chaque branche.
Choisis un début de chemin. Ajoute tous les choix suivants à ce début, puis recommence pour chaque autre début.
Oublier des choix sous certaines branches.
Le même ruban peut servir avec plusieurs formes. Vérifie que chaque forme possède bien toutes les branches de rubans autorisées.
Compter les branches intermédiaires ou compter un chemin plusieurs fois.
Suis chaque chemin jusqu'au dernier choix et marque son bout après l'avoir compté. Ne marque pas les arrêts du milieu.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Quand tu choisis une tenue, un repas ou une décoration, plusieurs combinaisons sont possibles. Un arbre permet de les représenter dans l’ordre et de les compter sans en oublier ni compter la même plusieurs fois.
Le cours
Commence par repérer les catégories de choix et les possibilités dans chacune. Tu dois choisir un élément de chaque catégorie. Vérifie que chaque possibilité peut être associée à toutes celles des autres catégories.
Garde toujours le même ordre pour construire ton arbre. Pars d’un point de départ et trace une branche pour chaque possibilité de la première catégorie. Écris le choix correspondant sur chaque branche.
Au bout de chacune de ces branches, trace toutes les branches de la deuxième catégorie. Puis, au bout de chaque nouvelle branche, trace toutes les branches de la troisième catégorie. S’il reste des catégories, continue de la même façon. Ne saute aucune possibilité, même si tu l’as déjà écrite ailleurs dans l’arbre.
Pour lire une combinaison, suis un chemin complet depuis le départ jusqu’à une extrémité de l’arbre. Chaque chemin donne une combinaison différente. Compte les extrémités finales pour connaître le nombre de solutions. Pour vérifier, tu peux aussi multiplier les nombres de possibilités des catégories, dans l’ordre.
Des exemples
Tu choisis un bonnet, une écharpe et un sac. Pour chaque catégorie, tu as 2 couleurs possibles : rouge ou bleu. Combien de tenues différentes peux-tu former en faisant tes choix dans ces 3 catégories ?
On garde l’ordre bonnet, puis écharpe, puis sac dans l’arbre complet : Départ ├── Bonnet rouge │ ├── Écharpe rouge │ │ ├── Sac rouge │ │ └── Sac bleu │ └── Écharpe bleue │ ├── Sac rouge │ └── Sac bleu └── Bonnet bleu ├── Écharpe rouge │ ├── Sac rouge │ └── Sac bleu └── Écharpe bleue ├── Sac rouge └── Sac bleu Le chemin « bonnet rouge → écharpe bleue → sac rouge » donne une tenue. Chaque extrémité de l’arbre correspond à une tenue différente. En comptant toutes ces extrémités, on trouve 8 tenues. Pour vérifier, on multiplie 2 par 2, puis encore par 2, puisqu’il y a 3 catégories.
Pour créer une carte, tu choisis un fond, un dessin et une bordure. Il y a 3 fonds possibles, 3 dessins possibles et 3 bordures possibles. Tous peuvent être associés. Combien de cartes différentes peux-tu créer avec ces 3 catégories de choix ?
Depuis le départ, trace 3 branches pour les fonds. Au bout de chaque branche de fond, trace 3 branches pour les dessins. Au bout de chaque branche de dessin, trace encore 3 branches pour les bordures. Un chemin complet indique le fond, le dessin et la bordure d’une carte. Compte seulement les extrémités finales, pas les branches intermédiaires : tu obtiens 27 cartes différentes. Tu peux vérifier en multipliant 3 par 3, puis encore par 3.
À retenir
- Je choisis un élément dans chaque catégorie.
- Je garde le même ordre de catégories dans tout l’arbre.
- À chaque étape, je trace toutes les possibilités.
- Un chemin complet correspond à une combinaison.
- Je compte les extrémités finales, sans oubli ni doublon.
Les mots de la leçon
- Arbre
- Dessin formé de branches qui montre les choix possibles, étape par étape.
- Combinaison
- Résultat obtenu en choisissant un élément dans chaque catégorie.
- Doublon
- Même solution comptée plusieurs fois.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardePour décorer un cerf-volant, tu choisis une couleur, une forme et un ruban. Dessine une branche pour chaque couleur, puis toutes les formes au bout de chaque branche, puis tous les rubans au bout de chaque forme. Chaque chemin complet représente une décoration : compte les bouts de branches pour trouver toutes les possibilités.
Tu fabriques une étiquette. Tu choisis un fond jaune ou vert, un dessin de lune ou de soleil, puis une ficelle blanche ou noire. Construis un arbre et trouve toutes les étiquettes possibles.
- Pars d'un point et trace les branches « jaune » et « vert ».Tu sépares les choix de fond pour ne pas les mélanger.
- Au bout de chaque branche, ajoute les branches « lune » et « soleil ».Chaque dessin peut aller avec chaque fond. Il faut donc remettre tous les dessins sous chaque fond.
- Au bout de chaque branche de dessin, ajoute « blanche » et « noire ».Le choix de la ficelle doit apparaître pour chaque couple fond-dessin.
- Lis les chemins : jaune-lune-blanche ; jaune-lune-noire ; jaune-soleil-blanche ; jaune-soleil-noire ; vert-lune-blanche ; vert-lune-noire ; vert-soleil-blanche ; vert-soleil-noire.Chaque chemin contient un fond, un dessin et une ficelle. Aucun chemin n'est répété.
- Compte seulement les bouts de branches : tu trouves huit étiquettes possibles.Les branches du milieu montrent des choix encore incomplets, pas des étiquettes terminées.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Construire un arbre représentant toutes les combinaisons formées en choisissant un élément dans chacun d’au moins trois ensembles, puis compter les solutions sans oubli ni doublon.
- Au programme
- CE2 · BO n°41 du 31 octobre 2024 (cycle 2, CP/CE1/CE2, français ET mathématiques) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 20 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers